Gilt das Snellsche Gesetz noch, nachdem eine Totalreflexion stattgefunden hat?

Lassen Sie uns zuerst den kritischen Winkel berechnen. Wie Sie bemerkt haben, bei$\theta_1=\theta_c$,$\sin\theta_2=1$, und somit$\theta_c=\arcsin(n_2/n_1)$. Damit es einen kritischen Winkel gibt, müssen wir natürlich einen haben$n_1>n_2$, so dass$n_2/n_1<1$.

Nun, das wissen wir aus dem Snellschen Gesetz

$$\begin{align} \sin\theta_1=\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\end{align}$$ Als $\theta_1$steigt auf $\theta_c$, $\sin\theta_2$geht zu $90$Grad, wie Sie bemerkt haben:

$$\begin{align} \sin \theta_c =\frac{n_2}{n_1}=\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\rightarrow \sin\theta_2=1 \end{align}$$

Für$\theta_1>\theta_c$, wir glauben, dass

$$\begin{align} \sin \theta_1 \equiv C = \frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\rightarrow \sin\theta_2=\frac{C}{n_2/n_1} \end{align}$$

Wo$C$ist eine Zahl größer als$(n_2/n_1)$aber weniger als 1, was bedeutet, dass$\frac{C}{n_2/n_1}>1$. Sie haben also Recht; Das Gesetz von Snell kann den Brechungswinkel für einen Einfallswinkel größer als nicht auflösen$\theta_c$. Stattdessen gehorcht das System in dieser Grenze dem Reflexionsgesetz. Weitere Informationen zum Snell-Gesetz und zur Totalreflexion finden Sie hier für eine gute Referenz.

Das Gesetz von Snell wird erhalten, indem die elektromagnetischen Randbedingungen auf das Problem angewendet werden; daher gilt es unter allen Umständen, wo die Maxwell-Gleichungen gelten.

Um zu sehen, was für Einfallswinkel größer als der kritische Winkel passiert, leiten wir das Snellsche Gesetz ab. Die elektromagnetischen Randbedingungen nehmen sowohl für die TE- als auch für die TM-Polarisation der einfallenden Welle folgende Form an:

$$A_ie^{j\mathbf{k_+ \cdot r}} + A_re^{j\mathbf{k_- \cdot r}} = A_te^{j\mathbf{k'\cdot r}}$$

Das Snellsche Gesetz wird abgeleitet, indem man sich um die Exponentialanteile für kümmert$z=0$:

$$k_x=k_x' \rightarrow k\sin \theta = k'\sin \theta' \rightarrow \boxed{n\sin \theta =n'\sin \theta'}$$

Nun erhalten wir die Wellenvektoren in der$z$Richtung,$k_z$Und$k_z'$:

$$k_z^2+k_x^2=k^2=n^2 k_0^2$$

$$k_z'^2+k_x'^2=k'^2=n'^2 k_0^2$$

Unter Verwendung des Snellschen Gesetzes ($k_x' = k_x$, So$k_x' = k \sin \theta = n k_0 \sin \theta$) finden wir aus der zweiten Gleichung:

$$k_z'^2 = k_0^2 \left( n'^2 - n^2 \sin^2 \theta \right) \Rightarrow k_z' = k_0\sqrt{n'^2-n^2\sin^2 \theta}$$

Unter Verwendung dieser Gleichung können wir sehen, was für Einfallswinkel passiert, die größer als der kritische Winkel sind. Wenn$n'<n\sin \theta$der Wellenvektor in der$z$Richtung würde imaginär werden.$k_z' = j \alpha$, mit

$$\alpha = k_0 \sqrt{n^2\sin^2 \theta - n'^2}$$

und die Wellenfunktion im rechten Medium wäre

$$()e^{- \alpha z + j k_x' x}$$

Daher gibt es sogar für eine Welle im zweiten Medium$\theta >\theta_0$, aber es zerfällt exponentiell mit$z$und trägt keine Energie in der$z$Richtung (eine abklingende Welle).