Gleichschwebendes Temperament als Stapel gerechter Intervalle

Kürzlich machte ich eine interessante Entdeckung, wie man gleichmäßig temperierte Töne erhält, indem man einfach nur die Intervalle 3/2 und 5/4 verwendet. Da sie Teil der meisten harmonischen Saiten sind, sollte der Dur-Dreiklang sehr genau gefangen werden.

Der Kern meiner Theorie besteht darin, den Stapel von 7 perfekten Quinten (3/2) und 1 großen Terz (5/4) zu verwenden, um einen einzigen, gleich temperierten Ton zu erhalten.

(3/2)^7 * 5/4 * 1/16 = 1,3348388671875

Das Verhältnis muss durch 16 (oder 2 ^ 4) geteilt werden, da der gesuchte Ton 4 Oktaven nach oben ging.

In diesem Beispiel ist das Ergebnis ein vollkommener Vierter. Die mathematische Genauigkeit ist bis zur 5. Stelle nach dem Komma. Der Fehler beträgt 0,00128 Cent. Das elfmalige Wiederholen des gleichen Stapels ergibt einen endgültigen Fehler von 11 * 0,00128 = 0,01408 Cent.

Ich habe einen Artikel über diese Entdeckung geschrieben, aber viele Musiker behaupten, dass dies in Bezug auf die Akustik nicht möglich ist, weil viel mehr Ereignisse auftreten, zum Beispiel Inharmonizität und Oktavdehnung. Aufgrund der Unvollkommenheit der Instrumente bleibt dies nur theoretisch.

https://narequaltemperament.com/

Obwohl dies in der Praxis möglicherweise nie erreicht wird, glaube ich, dass die Mathematik hinter dieser Theorie außergewöhnlich ist. Viele Wurzeln von 2 könnten durch kleine Brüche der ersten 3 Primzahlen (2, 3 und 5) ausgedrückt werden. Alles von 2^(1/12) bis 2^(11/12) könnte sehr genau berechnet werden, indem der Ausdruck 11 Mal gestapelt wird. Das Umkehren der Verhältnisse ist auch legitim.

Ist es möglich, ein Klavier mit dieser Methode des Stapelns von 7 P5s und 1 M3 zu stimmen? Ich erwarte eine bis zu 246-mal bessere Genauigkeit, aber was wären die tatsächlichen Ergebnisse?

Bisher ist das beste Verfahren, das ich zum Tunen anbieten kann, dieses:

https://nearequaltemperament.com/inverse-stack/

Ist es effizient genug? Wird es Fehler akkumulieren oder ist es fehlerfrei?

Ein weiteres grobes Verfahren, das den Tuning-Prozess maximal ausreizt, ist:

https://nearequaltemperament.com/small-scale/

Da der Stapel zweimal weniger Schritte, aber größere Verhältnisse enthält, gibt es eine Möglichkeit, dies zu erledigen, ohne dass sich Fehler ansammeln?

Gibt es hier eine Frage? Auf jeden Fall ist es ein bisschen anders, obwohl es bis auf die fünfte Dezimalstelle einer echten gleichschwebenden Quarte liegt. Wenn Sie dieses Intervall in einer chromatischen 12-Ton-Tonleiter verwenden, werden die resultierenden Intervalle nicht gleich sein. Und die Tatsache, dass Sie zu diesem Intervall gekommen sind, indem Sie nur Intervalle gestapelt haben, ändert nichts an der Tatsache, dass es sich etwas von einem Viertel von 4/3 unterscheidet. Und nehmen Sie an, Sie beginnen auf F und enden auf B (na ja, A scharf). Wenn Sie diese sieben gestapelten weißen Noten für Ihre Tonleiter verwenden, haben Sie dort immer noch die pythagoräische Stimmung mit ihren 81:64-Terzen, nicht 5:4.
Ich stimme dafür, diese Frage zu schließen, weil es keine Frage ist.
Ich habe dafür gestimmt, diese Frage erneut zu öffnen, da sie jetzt eine Frage enthält.
Ich denke, die Frage sorgt für eine gute Diskussion; Allerdings sind die Zuordnungen des Systems (für mich) nicht klar. Ich habe die verlinkte Seite gelesen. Ich sehe kein Verfahren zur Verwendung einer solchen Annäherung. Das Verfahren für die gleiche Stimmung (wie es mir von einem Klavierstimmer gegeben wurde) ist Oktaven (von einem gewissen Anfang) genau zu stimmen; dann stimmen Sie die Quarten 2 Schläge hoch und die Quinten einen Schlag zu tief; die anderen Notizen werden daraus gemacht. Sie könnten 89/84 als Verhältnis (ttw) anstelle von 18/17 (Vincenzio Galilei) verwenden, um annähernd gleichschwebend temperiert zu sein.
Bitte klären Sie: Ihr Verfahren besteht darin, mit C zu beginnen, 7 Quinten nach oben und eine große Terz nach oben zu stimmen und irgendwo im Prozess um 4 Oktaven nach unten zu gehen, um die Note F zu stimmen. Dann durch Wiederholen des Verfahrens von F nach Bb stimmen, und so weiter, bis alle 12 Töne gestimmt sind?
Die Hauptwebseite erklärt nur die Konzeption und Mathematik. Die Verfahren, 3 davon, sind in ergänzenden Artikeln enthalten. Der bisher beste Prozess, den ich anbieten kann, heißt Fast Inverse Stack nearequaltemperament.com/inverse-stack . Forward Stack dient zu Schulungs-/Testzwecken. Small Scale Stack ist eine grobe Idee, um die Schritte noch weiter zu reduzieren, das absolute Limit.
Beachten Sie, dass dies mathematisch gesehen nicht fehlerfrei sein kann, da 2^(1/12) eine Irrationalzahl ist: Sie kann geschätzt , aber nicht mit unendlicher Genauigkeit mit Brüchen berechnet werden (daher der Name Irrational).
@Tom "irrational" bedeutet nicht "unmöglich"; Beispielsweise können Sie ein Liniensegment mit einer Länge von genau √2 erstellen, indem Sie ein Einheitsquadrat erstellen und dessen Diagonale verwenden, um Ihr Liniensegment zu definieren. Die Tatsache, dass Sie es nicht als Summe einer endlichen Reihe von rationalen Argumenten darstellen können, bedeutet nicht, dass es nicht existieren kann.
Vinkelman: Um von C nach F zu stimmen, verwenden Sie die dazwischen liegenden G, D, A, E, B, F♯ und C♯. Um dann von F nach B♭ zu gelangen, müssen Sie C neu stimmen. Wirft das nicht Ihr Temperament ab? Ok, Sie können das obere C verwenden und es später neu stimmen, aber irgendwann müssen Sie Noten wiederverwenden, die Sie bereits gesetzt haben, nicht wahr?
@phoog Ich habe nie gesagt, dass es unmöglich ist oder dass es nicht beendet wird. Ich habe gesagt, dass "es nicht mit unendlicher Genauigkeit mit Brüchen berechnet werden kann ". Daher kann die Berechnung dieser irrationalen Zahl unter Verwendung von Brüchen nicht fehlerfrei sein.
@Tom Ich denke, du meinst eine endliche Anzahl von Brüchen. Eine abzählbar unendliche Anzahl von aufsummierten Brüchen kann genau einer irrationalen Zahl entsprechen. Das ist im Grunde eine unendliche Dezimalerweiterung. In jedem Fall ist für Szenarien der realen Welt die Präzision, mit der alles in der realen Welt getan werden kann, durch die Physik weit vor den mathematischen Grenzen begrenzt. Mit anderen Worten, wir können eine rationale Zahl genauso wenig genau abstimmen wie eine irrationale.
@Tom Oh ja. Das ist richtig. Aber der Fehler, der dem betrachteten System innewohnt, scheint so klein zu sein, dass er wahrscheinlich vernachlässigbar ist im Vergleich zu der relativ geringen Präzision menschlicher Klavierstimmer.
@ToddWilcox Ja, ich hätte finite setzen sollen!
@phoog ich war nur pingelig ;)
Beachten Sie, dass in 12-EDO P5 = 7 Halbtöne und M3 = 4 Halbtöne sind, also 7*P5 + M3 = 53 Halbtöne. Es scheint also, dass OP die Annäherung P5 = 31/53 Oktave aus einer anderen Perspektive wiederentdeckt hat .

Antworten (1)

Das Problem ist nicht die Mathematik. Das Problem ist die Effizienz des Abstimmalgorithmus (oder, je nachdem, ein Mangel an Effizienz).

Da der Algorithmus monoton ansteigt (bis zum Punkt der Oktavkorrektur), beginnen wir damit, die tiefste Tonhöhe A0 zu stimmen, die wir als gegeben akzeptieren.

Da unser Ziel zunächst ist, alle 12 chromatischen Tonhöhen möglichst genau zu stimmen, können wir auf die Oktavkorrekturen vorerst verzichten. Dies hat keinen Einfluss auf die Mathematik, da die Multiplikation kommutativ ist. Wir können zuerst alle Quinten und Terzen machen und uns später mit den Oktaven befassen.

Um also jede der Quarten am genauesten zu stimmen (ohne Rücksicht auf die Oktave), sind 8 Operationen erforderlich: 7 Quinten und 1 Terz.

Somit erfordert das Stimmen jeder der 12 chromatischen Tonhöhen auf die größte Genauigkeit mindestens 8 * 12 = 96 Operationen. (Und da das Stimmen jeder Quarte vier Oktaven nach oben geht, bräuchten wir ein Klavier mit 12 * 4 = 36 Oktaven.) Wenn wir unser Klavier auf insgesamt 7 Oktaven beschränken und das Äquivalent von einer davon gestimmt haben, brauchen wir jetzt zusätzliche 12 * 6 = 72 Oktavstimmungen.

Somit sind insgesamt 168 Operationen mit 32 Arbeitsoktaven erforderlich.

Da das Verkürzen unserer Tastatur auf tatsächlich 7 Arbeitsoktaven nur eine Änderung der Reihenfolge der Operationen erfordert (Durchführung der Oktavkorrekturen nach Bedarf), benötigen wir immer noch ein Minimum von 168 Gesamtoperationen.

Mit anderen Worten, auf einer Tastatur mit sieben Oktaven (7 * 12 = 84 Tasten) muss jede Taste im Durchschnitt zweimal gestimmt werden, um das ideale Ergebnis zu erzielen.

In meinem besten Fall benötigen Sie nur 2 Oktaven, um daran zu arbeiten. Schauen Sie sich ergänzende Artikel an, z. B. Fast Inverse Stack nearequaltemperament.com/inverse-stack . Erklärt den gesamten Prozess effizient, indem nur an 2 Oktaven gearbeitet wird, C3-C4, die wir sehr genau hören können.
@Vinkelman Wenn das die Frage ist, die Sie beantwortet haben möchten, stellen Sie sie bitte in Ihren Beitrag.
@Vinkelman Wenn ich mir den "schnellen inversen Stapel" ansehe, sehe ich, dass es 99 Schritte dauert, um eine einzelne Oktave zu stimmen. Damit bleiben 6 Oktaven übrig, die gestimmt werden müssen, was weitere 6*12 = 72 Schritte erfordert, für eine Gesamtsumme von 171 Schritten. Weniger effizient als das oben beschriebene Verfahren.
@Vinkelman Ich sollte wiederholen, dass ich kein Problem mit der Mathematik (dh der Genauigkeit der Abstimmung) sehe, nur mit der Effizienz im Vergleich zur Standardpraxis.
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