Wie glättet man eine reine Quinte um einen Bruchteil des syntonischen Kommas?

Laut Wikipedia wird die Größe der perfekten Quinte im 1/4-Komma-Mittelton "um ein Viertel eines syntonischen Kommas abgeflacht, in Bezug auf die reine Intonation, die in der pythagoreischen Stimmung verwendet wird (Frequenzverhältnis 3: 2)." Wie genau geht das mathematisch?

Eine pythagoreische Quinte ist das Verhältnis 3/2.

Eine Quinte in 1/4 Komma bedeutet 5^1/4 (1,495).

Das syntonische Komma ist 81/80.

Wenn ich versuche, die Größe der Quinte zu berechnen, lande ich bei 1,246875 statt der erwarteten 1,495. So komme ich dorthin: Subtrahiere (81/80 * 1/4) (ein Viertel des syntonischen Kommas) von einer reinen Quinte (3/2). Was mache ich falsch?

Antworten (2)

Mathematisch gesehen ist alles über die Tonhöhe logarithmisch. "Hinzufügen einer reinen Quinte" bedeutet wirklich "Multiplizieren der Tonhöhe mit 3/2". "Subtrahieren eines syntonischen Kommas" bedeutet also Multiplizieren mit dem Kehrwert des Kommas; und "ein Viertel von" bedeutet die vierte Wurzel von. Versuchen Sie also, Folgendes zu berechnen:

  • 3/2 x 4. Wurzel (81/80)

... und sehen Sie, ob dies eher die richtige Antwort ist. (Ich habe es nicht überprüft, aber die vierte Wurzel ist zumindest für einen Taschenrechner einfach). HTH

Das war wirklich hilfreich – danke! Die Mathematik, die Sie geschrieben haben, war fast korrekt, aber Sie haben vergessen, den Kehrwert der vierten Wurzel von 81/80 zu verwenden, wie Sie vorgeschlagen haben. So würden Sie die Berechnung in der Programmiersprache Lisp schreiben (gewählt, weil sie die Reihenfolge der Operationen klar macht): (* 3/2 (/ 1 (expt 81/80 1/4)))
Gut; Ich habe es fast absichtlich dir überlassen, es richtig zu machen. Beachten Sie, dass die andere Antwort (von @Dave) auch das Zauberwort "logarithmisch" enthält. Das ist der Schlüssel dazu und die Basis für das logarithmische „Cent“-System – ein Cent ist eine multiplikative Konstante gleich 2^-1200.
@patterkyle Es ist wie ein Rechenschieber, der Multiplikation und Division in Addition und Subtraktion über Logarithmen umwandelt.

In Bezug auf Frequenzverhältnisse ist "Abflachen" nicht "Subtrahieren", zumindest keine mathematische Subtraktion. So wie du es ausdrückst, wäre die mittlere Tonquinte (3/2)/[(81/80)**(1/4)]=1,495... Die Reduktion wird durch Division erreicht.

Oft möchten Sie über Dinge in Cent nachdenken : ein logarithmisches Maß für die Tonhöhe. Durch die Arbeit mit diesen werden die Multiplikation und Division (wie die Division im obigen Ausdruck) zu Addition und Subtraktion; Das Potenzieren (wie das **(1/4) oben) wird zur Multiplikation. Ein gleichschwebender Halbton ist 100 Cent; eine Sekunde ist 200; kleine Terz 300 und so weiter bis zu einer Oktave, die 1200 ist. Mathematisch gesehen ist der Cent-Wert für ein bestimmtes Verhältnis cents = 1200*log2( ratio).

In Cent entspricht eine gerade intonierte Quinte 702 Cent; das sytonische Komma beträgt 21 Cent; und die mitteltönige Quinte endet bei 702-(1/4)*21 = 697. Die Verwendung von Cent macht die Idee, Intervalle voneinander zu subtrahieren, sinnvoll (ha!).

Wie glättet man eine reine Quinte um einen Bruchteil des syntonischen Kommas?
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