Integral der Ionenverteilungsfunktion bei der Ableitung des Dreicer-Feldes

Question

Integral der Ionenverteilungsfunktion bei der Ableitung des Dreicer-Feldes

Andreas

Haftungsausschluss: Ich füge einen guten Teil des physikalischen Hintergrunds hinzu, aber ich glaube, dass dies von jemandem mit einem starken Verständnis für Kalkül gelöst werden kann

Ich verfolge die Ableitung der kritischen elektrischen Feldstärke (Dreicer-Feld), die in einem Plasma, das einem starken äußeren elektrischen Feld ausgesetzt ist, zu durchgehenden Elektronen führt.

Quelle: https://journals-aps-org.stanford.idm.oclc.org/pr/pdf/10.1103/PhysRev.115.238

Als Teil des Prozesses definieren sie die dynamische Reibung zwischen zwei Spezies (Ionen (i) und Elektronen (e)) unter Verwendung von Fokker-Planck mit Rosenbluth-Potentialen.

Die folgenden Definitionen der Rosenbluth-Potentiale werden gegeben:

$H_{e,i} = \frac{m_e+m_i}{m_i}\Gamma_e\int{\frac{F_i(r,c',t)}{w}d^3c'}$

$w = |c-c'|$

$\Gamma_e= 4\pi\left(\frac{c^2}{4\pi \epsilon_0 m_e}\right)^2\log{\frac{\lambda}{\rho_0}}$

Wo:

r: Positionsraum
c: Elektronengeschwindigkeitsraum
c': Ionengeschwindigkeitsraum
$F_i(r,c',t)$ : 7-dimensionale Ionenverteilungsfunktion

alles andere aufgeführte wird als konstant angenommen, einschließlich $\log{\frac{\lambda}{\rho_0}}$

An einem späteren Punkt in der Arbeit definieren sie $F(r,c,t)$ im allgemeinen Sinne als verschobene Maxwellsche Verteilung, gegeben als:

$F_\alpha(r,c,v(t)) = n(r)\left(\frac{\beta_\alpha(r)}{\pi}\right)^{3/2}\exp{\left(-\beta_\alpha(r)|c-v_\alpha(t)|^2\right)}$

$\beta_\alpha(r) = \frac{m_\alpha}{2kT_\alpha(r)}$

Wo $v_\alpha(t)$ die Massengeschwindigkeit der Spezies ist, und $T_\alpha(r)$ ist die Artentemperatur.

Mit dieser allgemeinen Definition der Artenverteilungsfunktion beansprucht der Autor, diese Definition zu nehmen und sie auf die zuvor aufgeführte Definition der Rosenbluth-Potentiale anzuwenden, um das Ergebnis zu generieren:

$H_{e,i} = \frac{m_e+m_i}{m_i}\Gamma_e\frac{\xi(\beta_i^{1/2}q)}{q}$

$\xi(x) = \frac{2}{\sqrt(\pi)}\int_{0}^{x}\exp{(-t^2)}dt$

$q = |c-v_i(t)|$

Meine Frage ist, wie kombinieren sich die beiden vorherigen Definitionen, um diese Ausgabe zu erzeugen? Meiner Meinung nach führt das Ersetzen und Integrieren nicht zu diesem Ergebnis, aber meine Mathematik könnte falsch sein. Hat jemand mit einem besseren Verstand für Calculus irgendwelche Gedanken dazu?

ehrliche_vivere

Der

ξ (x)

$\xi(x)$ term ist nur eine Fehlerfunktion. Der Grund dafür ist, dass nur Elektronen bis zu dieser normalisierten Geschwindigkeit (dh Driftgeschwindigkeit von Elektronen über der thermischen Ionengeschwindigkeit) eine Rolle beim Beitragen zum Potential spielen. Sie werden feststellen, dass sie eigentlich nichts integrieren, sondern nur die Fehlerfunktion durch einen symbolischen Ausdruck ersetzen. Die Fehlerfunktion wird numerisch integriert. Der

q

$q$ Der Faktor berücksichtigt nur die Rahmentransformation (dh bewertet das Potenzial im Ionenruherahmen).

Antworten (1)

Integral der Ionenverteilungsfunktion bei der Ableitung des Dreicer-Feldes

Der $\xi(x)$ term ist nur eine Fehlerfunktion. Der Grund dafür ist, dass nur Elektronen bis zu dieser normalisierten Geschwindigkeit (dh Driftgeschwindigkeit von Elektronen über der thermischen Ionengeschwindigkeit) eine Rolle beim Beitragen zum Potential spielen. Sie werden feststellen, dass sie eigentlich nichts integrieren, sondern nur die Fehlerfunktion durch einen symbolischen Ausdruck ersetzen. Die Fehlerfunktion wird numerisch integriert. Der $q$ Der Faktor berücksichtigt nur die Rahmentransformation (dh bewertet das Potenzial im Ionenruherahmen).

Endulum · Answer 1

Sie können das Ergebnis nicht nur durch bloßes Hinsehen sehen, da die Rosenbluth-Potentiale dreifache Integrale sind und das Endergebnis nur ein einzelnes Integral ist. Sie müssen die Integrale tatsächlich über zwei Geschwindigkeitskoordinaten durchführen, um zu dem angegebenen Ergebnis zu kommen. Nachfolgend finden Sie die ersten Schritte dazu.

Ändern Sie zuerst die Variablen in $C = c'-c$ .

\begin{aligned} \int_{R^{3}} D^{3} C^{'} \frac{F (\vec{R}, C^{'}, T)}{w} & = N_{ich} {(\frac{β_{ich}}{π})}^{3 / 2} \int_{R^{3}} D^{3} C^{'} \frac{1}{| C^{'} - C |} e^{- β_{ich} | C - v_{ich} |^{2}} \\ = N_{ich} {(\frac{β_{ich}}{π})}^{3 / 2} \int_{R^{3}} D^{3} C \frac{1}{| C |} e^{- β_{ich} | C + C - v_{ich} |^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathbb R^3}d^3c' \frac{F(\vec r, c', t)}{w} &= n_i\left(\frac{\beta_i}{\pi}\right)^{3/2}\int_{\mathbb{R}^3} d^3c' \frac{1}{|c'- c|} e^{-\beta_i|c-v_i|^2}\\ &= n_i\left(\frac{\beta_i}{\pi}\right)^{3/2} \int_{\mathbb R^3} d^3C \frac{1}{|C|}e^{-\beta_i|C+c-v_i|^2} \end{align}$ Erweitern Sie als Nächstes den Exponenten mit dem Kosinussatz,

| C + C - v_{ich} |^{2} = | C |^{2} + | C - v_{ich} |^{2} + 2 | C - v_{ich} | | C | \cos θ = w^{2} + Q^{2} + 2 Q w \cos θ,

$|C+c-v_i|^2 = |C|^2 + |c-v_i|^2 + 2|c-v_i||C|\cos\theta = w^2 + q^2 + 2qw\cos\theta ,$ Wo

θ

$\theta$ ist der Winkel dazwischen

C

$C$ Und

c - v_{i}

$c-v_i$ . Drücken Sie nun das Integral in einem sphärischen Koordinatensystem aus

(C_{x}, C_{y}, C_{z}) \to (w, θ, ϕ)

$(C_x,C_y,C_z)\to(w,\theta,\phi)$ ,

\begin{aligned} N_{ich} {(\frac{β_{ich}}{π})}^{3 / 2} \int_{R^{3}} D^{3} C \frac{1}{| C |} e^{- β_{ich} (w^{2} + Q^{2})} e^{- 2 β_{ich} Q w \cos θ} \\ = N_{ich} {(\frac{β_{ich}}{π})}^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} D w \int_{0}^{π} D θ \int_{0}^{2 π} D ϕ w^{2} Sünde θ \frac{1}{w} e^{- β_{ich} (w^{2} + Q^{2})} e^{- 2 β_{ich} Q w \cos θ} \end{aligned}

$\begin{align} &n_i\left(\frac{\beta_i}{\pi}\right)^{3/2} \int_{\mathbb R^3} d^3C \frac{1}{|C|}e^{-\beta_i(w^2+q^2)}e^{-2\beta_i qw\cos\theta} \\ &= n_i\left(\frac{\beta_i}{\pi}\right)^{3/2} \int_0^\infty dw \int_0^{\pi} d\theta\int_0^{2\pi} d\phi ~w^2 \sin\theta \frac{1}{w}e^{-\beta_i (w^2+q^2)}e^{-2\beta_i qw\cos\theta} \end{align}$ Der Integrand ist unabhängig von

ϕ

$\phi$ , also das Integral vorbei

ϕ

$\phi$ trägt nur einen Gesamtfaktor von bei

2 π

$2\pi$ . Der

θ

$\theta$ Integral geht am einfachsten mit der Substitution

u = \cos θ

$u = \cos\theta$ ,

d u = - \sin θ d θ

$du = -\sin\theta d\theta$

\begin{aligned} N_{ich} {(\frac{β_{ich}}{π})}^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} D w \int_{0}^{π} D θ \int_{0}^{2 π} D ϕ w^{2} Sünde θ \frac{1}{w} e^{- β_{ich} (w^{2} + Q^{2})} e^{- 2 β_{ich} Q w \cos θ} \\ = 2 π N_{ich} (β_{ich} / π)^{3 / 2} \int_{0}^{\infty} D w w e^{- β_{ich} (w^{2} + Q^{2})} \int_{- 1}^{1} D u e^{- 2 β_{ich} Q w u} \\ = N_{ich} β_{ich}^{3 / 2} \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} D w w e^{- β_{ich} (w^{2} + Q^{2})} \frac{1}{2 β_{ich} Q w} [e^{2 Q w} - e^{- 2 Q w}] \\ = \frac{N_{ich} \sqrt{β_{ich}}}{Q \sqrt{π}} [\int_{0}^{\infty} D w e^{- β_{ich} (w^{2} - 2 Q w + Q^{2})} - \int_{0}^{\infty} D w e^{- β_{ich} (w^{2} + 2 Q w + Q^{2})}] \end{aligned}

$\begin{align} & n_i\left(\frac{\beta_i}{\pi}\right)^{3/2} \int_0^\infty dw \int_0^{\pi} d\theta\int_0^{2\pi} d\phi ~w^2 \sin\theta \frac{1}{w}e^{-\beta_i (w^2+q^2)}e^{-2\beta_i qw\cos\theta} \\ &= 2\pi n_i(\beta_i/\pi)^{3/2}\int_0^\infty dw~w e^{-\beta_i(w^2+q^2)}\int_{-1}^1 du ~e^{-2\beta_i q w u} \\ &= n_i\beta_i^{3/2}\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty dw~w e^{-\beta_i (w^2+q^2)}~\frac{1}{2\beta_i q w}\left[ e^{2qw} - e^{-2qw} \right] \\ &= \frac{n_i\sqrt{\beta_i}}{q\sqrt{\pi}} \left[ \int_0^\infty dw~e^{-\beta_i(w^2 -2qw + q^2)} - \int_0^\infty dw~e^{-\beta_i(w^2 + 2qw +q^2)} \right] \end{align}$ Somit wurde das dreidimensionale Integral auf nur zwei eindimensionale Integrale reduziert. Ich werde die letzten Schritte, diese in Begriffen auszudrücken, weglassen

ξ (\sqrt{β_{i}} q)

$\xi(\sqrt{\beta_i}q)$ . Dies kann mit sehr routinemäßigen Änderungen von Variablen erfolgen.

Integral der Ionenverteilungsfunktion bei der Ableitung des Dreicer-Feldes

Andreas

ehrliche_vivere

Antworten (1)

Endulum

Temperatur eines Mischplasmas

Ermitteln des ungefähren Abstands zwischen Molekülen in einem Gas

Effektives Potenzial für die Kerr-Geometrie

Balmer Linien und ihre Positionen

Taylor-Reihenentwicklung von lnln\ln und coshcosh\cosh in der in der Zeit gefallenen Distanz ttt-Gleichung

Funkübertragungen auf astronomischer Wellenlänge (AWR) zwischen kosmischen Plasmen?

Bleiben Sterne elektrisch neutral? [Duplikat]

Wie macht man die Integrale über die multivariate Delta-Funktion?

Dichteverteilung des interstellaren Mediums

Verwirrung über die Volumenkomponente im Gaußschen Gesetz für einen Zylinder