Intuition ≠≠\neq Diagramm: Gewicht am Nordpol vs. Äquator

Das Problem, das Sie haben, ist, dass Sie an "die Zentripetalkraft" als eine Kraft denken, die Sie beim Zeichnen Ihrer Diagramme berücksichtigen müssen. Nicht ganz du Schuld. Der Satz liest sich so.

Grundregel: Es gibt kein Ding namens " Zentripetalkraft ". Stattdessen ist diese Phase ein Etikett für eine Kombination aus realer Kraft, die die Rolle übernimmt, die nach innen gerichtete Beschleunigung zu verursachen, die vorhanden sein muss, damit eine Kurvenbewegung auftritt. Welche Kombination von Kräften variiert von Problem zu Problem und sogar von Zeit zu Zeit in einer einzelnen Situation. Was diese Kombination ist, müssen Sie bei jedem Problem entdecken.

Aber du hast einen Hinweis. Die einfache Kinematik der Bewegung sagt Ihnen, wie groß die Beschleunigung sein muss.

In diesem Fall$F_c = |\text{gravity times mass}| - |\text{normal reaction force}|$. Dies ist ein Sonderfall der allgemeinen Regel, dass die Zentripetalkraft die Summe der nach innen gerichteten Kräfte (oder Kraftkomponenten) minus der Summe der nach außen gerichteten Kräfte ist. ¹

Zweitens müssen Sie wissen, dass eine Personenwaage die Normalkraft zwischen der Person und dem Boden misst. Dies gibt uns ein anderes Verständnis von "Gewicht" als$mg$(und es ist eines, das richtig funktioniert, wenn wir sagen, dass ein Astronaut im Orbit "schwerelos" ist).

So,

Um das „Warum“ dieses Ansatzes ein wenig zu erläutern, möchte ich damit beginnen, über Gleichgewicht zu sprechen.

Sobald Sie festgestellt haben, dass sich ein Objekt im Gleichgewicht befindet, wissen Sie etwas über die Kräfte, die insgesamt auf es einwirken: Sie addieren sich zu Null. Das sagt Ihnen nichts über eine einzelne a priori , aber wenn Sie alle anderen Kräfte kennen (oder wissen, dass es nur eine Kraft gibt), können Sie fertig werden.

Ganz ähnlich verhält es sich mit der "Zentripetalkraft": Da sich das Objekt in einer Kurvenbewegung befindet, wissen Sie, dass es sich nicht im Gleichgewicht befindet, sondern beschleunigt, und außerdem wissen Sie, dass die Komponente seiner Beschleunigung, die auf den (augenblicklichen) Krümmungsmittelpunkt zeigt, dies ist$a_c v^2/r = r\omega^2$.

Und das sagt Ihnen, dass die Summe aller darauf wirkenden Radialkräfte sein muss$ma_c$(und noch einmal, das ist etwas, das Sie über eine Ansammlung von Kräften wissen). Aber bevor Sie dieses Wissen zu Ihrem Vorteil nutzen können, müssen Sie ermitteln, welche Kräfte (oder Komponenten davon) kombiniert werden sollten, bevor Sie auf diese Summe eingestellt werden.

Ein früher Schritt bei der Bearbeitung von Problemen, die "Zentripetalkraft" beinhalten, ist also die Frage : "Welche dieser Kräfte zeigt zum Zentrum und welche nach außen?" Erstere gehen mit positivem Vorzeichen in die Summe ein, letztere mit negativem Vorzeichen.

¹ Das sollten Sie beachten, weil dies die einzigen Kräfte sind, die am Äquator auf die Person einwirken, und sie sich nicht aufheben, weil diese Person nicht im Gleichgewicht ist. Aber das wussten Sie doch: Sie bewegen sich im Kreis, oder?

² Abgesehen davon, dass wir vergessen haben, die nicht-kugelförmige Massenverteilung der Erde zu berücksichtigen. Aber das ist eine andere Geschichte.

Am Nordpol bewegt man sich nicht im Kreis, also beschleunigt man nicht. Die Nettokraft auf Sie ist Null:$W-N=0$Wo$W$ist die Anziehungskraft auf Sie und$N$ist die normale Reaktion des Bodens. (Eigentlich reisen Sie mit der Erde in ihrer Umlaufbahn um die Sonne, also beschleunigen Sie auf die Sonne zu. Aber wir werden diese Beschleunigung ignorieren, die ungefähr ist$0.006 m/s^2$- relativ klein.)

Am Äquator kreisen Sie um den Erdmittelpunkt, beschleunigen also. (Es geht um$0.03 m/s^2$.) Die Nettokraft auf Sie ist ungleich Null und wird Zentripetalkraft genannt $C$. Dies ist keine Kraft an sich, sondern nur der Name für die Kraft, die erforderlich ist, um ein Objekt mit einer bestimmten Geschwindigkeit in Bewegung zu halten$v$in einem Kreis mit gegebenem Radius$r$Wo$C=mv^2/r$. Also hier haben wir$W-N=C$.

Am Nordpol,$N=W$, Wo$W$ist das Gewicht.

Hier haben Sie von Anfang an einen Fehler gemacht. Gewicht und Normalkraft sind Vektoren, keine Skalare. Für ein Objekt, das in Bezug auf die rotierende Erde am Nordpol ruht,$\vec N + \vec W = 0, or$\vec N = -\vec W$, aus der Perspektive eines erdzentrierten Inertialbezugssystems oder aus der Perspektive eines erdzentrierten, erdfesten Bezugssystems.

Am Äquator sagt das der erdzentrierte Trägheitsbezugssystem$\vec N + \vec W = \vec F_{\text{net}} = - m r\Omega^2 \, \hat r$, Wo$\hat r$ist der Einheitsvektor, der am Ort des Wägeobjekts vom Erdmittelpunkt weg zeigt. Der erdzentrierte, erdfeste Bezugsrahmen besagt, dass die Nettokraft Null ist, wenn man die Zentrifugalkraft berücksichtigt:$\vec N + \vec W + \vec C = 0$, Wo$\vec C = m r \Omega^2 \,\hat r$.

Beachten Sie, dass wir in beiden Fällen erhalten$\vec N + \vec W = - m r\Omega^2 \, \hat r$. Beide Perspektiven sind miteinander vereinbar.

Eine andere Betrachtungsweise, ein Kräftediagramm am Äquator:

   Inertial perspective               Rotating perspective
   ------> N                          ------> N
   <--------- W                       <--------- W
                                      -->        C
   <--        Non-zero vector sum     .          Vector sum is zero

Für einen Körper, der in Bezug auf die rotierende Erde ruht, addieren sich die Nicht-Trägheits-Zentrifugalkraft und die Trägheits-Nettokraft zu Null. Obwohl es richtig wäre, "gleich, aber entgegengesetzt" zu sagen, habe ich das absichtlich nicht gesagt, weil dieser Satz das Gepäck des dritten Newton-Gesetzes trägt. Die fiktive Zentrifugalkraft und die reale Nettokraft sind keine dritten Gesetzespaare.