Beschleunigung des freien Falls an verschiedenen Teilen der Erde

Stellen Sie sich der Einfachheit halber die Erde als Kugel vor, deren Erdbeschleunigung auf einem Objekt überall auf der Erdoberfläche gleich ist. Die Erde dreht sich um eine Achse durch ihre Pole. Definieren Sie das "Gewicht" des Objekts als die Kraft, die das Objekt auf eine an der Erde befestigte Stütze ausübt, wenn das Objekt stationär auf der Stütze sitzt. Das Gewicht ist gleich groß und entgegengesetzt gerichtet wie die Kraft der Auflage auf das Objekt. Stellen Sie sich ein Objekt vor, das aus geringer Höhe über der Erdoberfläche am Äquator fällt.

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das anfänglich auf dem Träger in einer Höhe ruht$h$

Stellen Sie sich einen Trägheitsreferenzrahmen vor, der die Erdrotation "beobachtet". An einem Pol gibt es keine Rotation und keine Zentripetalkraft; die Größe der Schwerkraft ist gleich der Kraft des Trägers auf das Objekt. Im Gegensatz dazu übersteigt am Äquator die Größe der Schwerkraft die der Stützkraft auf das Objekt gerade genug, um die Zentripetalkraft bereitzustellen, die das Objekt mit der Erde rotieren lässt. Die Schwerkraft auf das Objekt ist sowohl am Pol als auch am Äquator gleich. Daher ist die Kraft der Stütze auf das Objekt am Pol größer als am Äquator, sodass das Gewicht des Objekts am Pol größer ist als am Äquator.

Stellen Sie sich einen nicht trägen Rahmen vor, der sich mit der Erde dreht und dessen Ursprung im Erdmittelpunkt liegt. Das Objekt ruht in diesem Rahmen. Am Pol ist die Gravitationskraft gleich groß wie die Stützkraft auf das Objekt. Am Äquator erfährt das Objekt in diesem Rahmen auch eine fiktive Zentrifugalkraft nach außen. Aufgrund der Zentrifugalkraft ist die Kraft des Trägers auf das Objekt am Äquator geringer als an einem Pol, daher ist das Gewicht des Objekts am Äquator geringer.

Der Gewichtsunterschied ist sehr gering.

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das zunächst am Äquator ruht und dann fallen gelassen wird

Einmal fallen gelassen, ist die einzige Kraft, die auf das Objekt wirkt, die Schwerkraft. Unter Verwendung von Polarkoordinaten sind im Trägheitssystem die radialen und tangentialen Bewegungsgleichungen$-mg\hat n = m(\ddot r - r\dot {\theta^2})\hat n$Und$0 = m(r\ddot \theta + 2\dot r \dot \theta)\hat l$Wo$r$Und$\theta$sind die Radial- und Winkelpositionen mit Einheitsvektoren$\hat r$in zunehmender radialer Richtung und$\hat l$in zunehmender Winkelrichtung.$g$ist die Erdbeschleunigung. Die radiale Bewegungsgleichung hat einen Zentripetalbeschleunigungsterm:$-r\dot {\theta^2}\hat n$Das Objekt hat also eine Zentripetalbeschleunigung, wenn es fallen gelassen wird, aber dies ist eine kleine Korrektur für diesen Fall, und die radiale Bewegung kann genau als bewertet werden$-mg\hat n = m\ddot r\hat n$. Das Objekt hatte zunächst die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie die Erde, bevor es fallen gelassen wurde. Nach dem Fallenlassen unterliegt das Objekt nur der Schwerkraft, einer zentralen Kraft, und sein Drehimpuls muss erhalten bleiben. Dies bedeutet, dass beim Fallenlassen des Objekts sein Drehimpuls konstant ist und beim Fallen (Abnehmen der Höhe) seine Winkelgeschwindigkeit die der Erdoberfläche übersteigt. Wenn es also die Erde berührt, wird das Objekt relativ zu einer Vertikalen verschoben von der Anfangshöhe des Objekts bis zur Erdoberfläche. Siehe die Antwort von @Ricardo Ochel auf die Abweichung frei fallender Objekte (Coriolis-Effekt) unter Verwendung der Erhaltung des Drehimpulses für eine detaillierte Bewertung im Trägheitsrahmen.

In dem mit der Erde rotierenden nicht-trägen Bezugssystem mit Ursprung im Erdmittelpunkt befand sich das Objekt zunächst in Ruhe, erfährt nun aber beim Fallenlassen neben der Zentrifugalkraft eine weitere fiktive Kraft, die es seitwärts auslenkt, wie die Corioliskraft es fällt. Siehe den Text Analytical Mechanics von Fowles für eine detaillierte Berechnung im nicht-inertialen Rahmen.

Die Abweichung von der Vertikalen ist die gleiche, egal ob sie im Trägheits- oder im Nicht-Trägheits-Koordinatensystem ausgewertet wird.

Also zu deinen Fragen:

(2) g ist nicht anders. Manchmal wird gesagt, dass das "effektive" g unterschiedlich ist, wobei effektives g g minus den Zentrifugaleffekt bedeutet.

(1) Betrachten Sie ein Objekt am Äquator, das fallen gelassen wird.

Im Inertialsystem betrachtet, folgte das Objekt zunächst der Erdrotation. Einmal fallen gelassen, behält es einen konstanten Drehimpuls bei und seine Winkelgeschwindigkeit ist nicht die gleiche wie die der Erdoberfläche, so dass es beim Aufprall auf die Erde eine Verschiebung aus der Vertikalen hat.

Im Nicht-Trägheitssystem betrachtet, ist die Verschiebung aus der Vertikalen auf die fiktive Coriolis-Kraft zurückzuführen.

Frage 1. Nein. Ein Projektil folgt nicht der Erdrotation. Dieses Phänomen ist dem Coriolis-Effekt sehr ähnlich. Lassen Sie es frei fallen, aber starten Sie es senkrecht zum Äquator zu einem der Pole und Sie werden diesen Effekt sehen. Es gibt jedoch die Wirkung des Windes in der Erdatmosphäre, die diese Antwort erschwert.

Frage 2. Das Gewicht ist am Pol und am Äquator gleich, dh wenn man Gewicht als Gravitationskraft auf eine Masse betrachtet. Die zentrifugale „Kraft“ führt zwar dazu, dass eine Waage ein etwas niedrigeres Ergebnis anzeigt, aber das liegt daran, dass ein Teil der Beschleunigung zum Erdmittelpunkt jetzt die Zentripetalbeschleunigung des Objekts beinhaltet. Die Zentrifugalkraft ist von der Erde weg gerichtet. Der Messwert auf einer Waage ist das Gewicht des Objekts abzüglich der Zentrifugalkraft, sodass die Nettokraft Null ist (vorausgesetzt, das Objekt befindet sich nicht im freien Fall und ruht auf der Erdoberfläche).

1.Das Objekt wird vom Schwerpunkt der Erde angezogen, vom Erdmittelpunkt angezogen. Die Schwerkraft auf dem Objekt wird durch die Drehung der Erde nicht beeinflusst. Das Objekt „weiß“ in keiner Weise, dass sich die Erde dreht oder in welche Richtung usw. Wenn es also weit über der Erde gehalten und losgelassen wird, fällt es direkt auf den Erdmittelpunkt zu und die Erde kann sich darunter drehen .

Wenn Sie es nicht einfach loslassen, sondern auf eine gewisse Höhe bringen und es werfen, befindet es sich immer noch im freien Fall - das liegt daran, dass keine andere Kraft auf es einwirkt. Es wird auch weiterhin vom Erdmittelpunkt angezogen, bewegt sich aber in einem Bogen. Es kümmert sich immer noch nur um den Mittelpunkt der Erde und in welche Richtung Sie es geworfen haben. Sie könnten es werfen, um sich mit der Erddrehung oder in die entgegengesetzte Richtung oder senkrecht usw. zu bewegen.

2. Pole spielen für die Schwerkraft keine Rolle. Tatsächlich muss die Erde nicht einmal rund sein; es könnte ein Würfel sein. Das Objekt wird immer noch vom Erdmittelpunkt angezogen. Wenn die Erde nicht rund ist, sagt die Höhe allein nicht aus, wie weit sie vom Mittelpunkt entfernt ist. Wenn wir uns zum Beispiel über Punkt A auf der Erde befinden, bedeutet eine Meile über der Oberfläche 1.000 Meilen vom Erdmittelpunkt entfernt. Aber über Punkt B bedeutet eine Meile darüber 1.005 Meilen vom Zentrum entfernt (wenn und nur wenn nicht rund).

Schließlich spielt es normalerweise keine Rolle, aber die Entfernung zum Zentrum sagt Ihnen, wie stark die Schwerkraft ist. Weiter vom Zentrum entfernt wird die Schwerkraft schwächer. Dies spielt normalerweise keine Rolle, denn selbst wenn wir Tausende von Fuß über der Oberfläche sind, sind wir immer noch ungefähr gleich weit (Tausende von Meilen) vom Zentrum entfernt.

Stellen Sie sich eine Masse vor, die an einer Schnur hängt. Das obere Ende der Saite ist an einer Federwaage befestigt. Am Äquator muss die Schwerkraft den Wert auf der Skala überschreiten, um die Zentripetalbeschleunigung zu liefern. Die Masse hat die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie die Erde. aber eine größere lineare Geschwindigkeit als Punkte darunter auf der Erde. Wenn die Saite reißt, landet die Masse sehr leicht östlich eines Punktes direkt unter ihrer Startposition. Auf einem mittleren Breitengrad muss die Komponente der Schwerkraft in Richtung der Rotationsachse größer sein als die entgegengesetzte Komponente von der Saite. Die Spitze der Saite neigt sich leicht zur Stange. Diese Neigung wird durch die zusätzliche Masse in der äquatorialen Wölbung verstärkt und steht senkrecht zur Oberfläche eines stehenden Wasserkörpers.