Abweichung frei fallender Objekte (Coriolis-Effekt) unter Nutzung des Drehimpulserhaltungssatzes

Question

Abweichung frei fallender Objekte (Coriolis-Effekt) unter Nutzung des Drehimpulserhaltungssatzes

Erde
Physik
freier Fall
Corioliskraft
Trägheitsrahmen
Drehimpuls

Sorën

Ich habe dieses PDF über Nicht-Trägheitsrahmen gelesen, insbesondere habe ich eine Frage zur Abweichung eines frei fallenden Objekts aufgrund des Coriolis-Effekts.

Stellen Sie sich einen Ball vor, der von einem Turm in der Höhe losgelassen wird $h$ . Die Verschiebung aufgrund des Coriolis-Effekts, berechnet mit Formeln im Erdsystem, ist $(4.19)$ , danach folgt die Erklärung des Effekts, der die Erhaltung des Drehimpulses der Kugel in einem Inertialsystem nutzt.

$\begin{matrix} (4.19) & X = \frac{2 \sqrt{2} ω H^{3 / 2}}{3 G^{1 / 2}} \end{matrix}$ $x =\frac{2\sqrt{2}ωh^{3/2}}{3g^{1/2}} \tag{4.19}$ Kurz bevor es fallen gelassen wird, befindet sich das Teilchen auf Radius $(R+h)$ und mitrotierend, also hat es Geschwindigkeit $(R+h)ω$ und Drehimpuls pro Masseneinheit $(R+h)^2ω$ . Beim Fallen bleibt sein Drehimpuls erhalten (die einzige Kraft wirkt zentral), sodass seine Endgeschwindigkeit v in der (östlichen) Drehrichtung erfüllt ist $Rv = (R+h)^2ω$ , Und $v= (R+h)^2ω/R$ . Da diese größer ist als die Drehzahl $Rω$ vom Fuß des Turms kommt das Teilchen dem Turm voraus. Die horizontale Geschwindigkeit relativ zum Turm beträgt ungefähr $2hω$ (ignoriert die $h^2$ Begriff), so dass die durchschnittliche relative Geschwindigkeit über dem Sturz etwa ist $hω$ . Wir sehen jetzt, dass die Verschiebung $(4.19)$ kann in der Form (Flugzeit) mal (mittlere Relativgeschwindigkeit) ausgedrückt werden, wie man es erwarten könnte .

Aber

v_{A v e R A G e} T_{F l ich G H T} = H ω \sqrt{\frac{2 H}{G}}

$v_{average} t_{flight}=h \omega \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Welche unterscheidet sich durch $\frac{2}{3}$ aus $(4.19)$ . Liegt das an der vorgenommenen Annäherung?

Ich verstehe auch nicht ganz, warum die durchschnittliche Relativgeschwindigkeit $v_{average}$ wird als die Hälfte der gefundenen Relativgeschwindigkeit angenommen. Gilt das nicht nur für konstant beschleunigte Linearbewegungen?

Antworten (3)

Abweichung frei fallender Objekte (Coriolis-Effekt) unter Nutzung des Drehimpulserhaltungssatzes

Dirakologie · Answer 1

Der Fehler besteht nur darin, eine Durchschnittsgeschwindigkeit zu berücksichtigen $h\omega$ .

Wenn das Teilchen in der Höhe ist $z$ , seine horizontale (relativ zur Erde) Geschwindigkeit ist $v=2z\omega$ , wobei Terme höherer Ordnung in ignoriert werden $z$ . Während des Zeitintervalls $dt$ das Teilchen fällt $dz$ mit vertikaler Geschwindigkeit $u(z)$ . Somit

D T = \frac{D z}{u (z)} = \frac{D z}{\sqrt{2 G z}},

$dt=\frac{dz}{u(z)}=\frac{dz}{\sqrt{2gz}},$ Wo

u (z) = \sqrt{2 g z}

$u(z)=\sqrt{2gz}$ kann aus der Torricelli-Formel erhalten werden. Die dabei zurückgelegte horizontale Strecke

d t

$dt$ Ist

D X = v D T = 2 z ω \frac{D z}{\sqrt{2 G z}} .

$dx=vdt=2z\omega\frac{dz}{\sqrt{2gz}}.$ Integrieren von

0

$0$ Zu

h

$h$ wir erhalten die gesamte horizontale Verschiebung

X = \sqrt{\frac{2}{G}} ω \int_{0}^{H} \sqrt{z} D z = \frac{2 ω}{3} \sqrt{\frac{2 H^{3}}{G}} .

$x=\sqrt{\frac 2g}\omega\int_0^h\sqrt zdz=\frac{2\omega}{3}\sqrt{\frac{2h^3}{g}}.$

Ausgezeichnete Antwort, aber dies setzt voraus, dass der Ball bei null Grad Breite fallen gelassen wird.

John Darby · Answer 2

Unter Berücksichtigung der Erhaltung des Drehimpulses für den fallen gelassenen Ball, $\omega(z)$ , die Winkelgeschwindigkeit der Kugel als Funktion von z, ist für die fallen gelassene Kugel nicht konstant. $\omega(z) = {(R + h)^2 \over (R + z)^2} \omega_e$ , Wo $\omega_e$ ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde. Wenn der Ball fällt, $z$ abnimmt und seine Winkelgeschwindigkeit zunimmt. Die Antwort von @Diracology geht davon aus $\omega(z)$ ist konstant bei $\omega_e$ für den fallen gelassenen Ball; dies ist eine gute Annäherung für $h << R$ und daher $z << R$ .

Gl. 4.19 geht davon aus, dass der Ball auf einem Breitengrad von null Grad fallen gelassen wird, wo $\vec v = \vec \omega \times \vec R$ hat Größenordnung $\omega R$ . Allgemein, $\vec \omega \times \vec R$ hat Größenordnung $\omega R \enspace cos\lambda$ Wo $\lambda$ ist der Breitengrad. Betrachtet man den Breitengrad, Gl. 4,19 sollte mit multipliziert werden $cos\lambda$ .

Siehe das Lehrbuch, Fowles Analytical Mechanics, für die Ableitung von Gl. 4.19 im Nicht-Trägheitssystem unter Berücksichtigung des Breitengrades und Sie finden den Faktor $cos\lambda$ im Ergebnis.

Ricardo Öchel · Answer 3

Sie haben Recht mit der falschen Durchschnittsgeschwindigkeit. Aber Sie können tatsächlich die Konversation des Drehimpulses verwenden, um die richtige Verschiebung zu berechnen. Um das zu tun, lassen Sie $\omega_0$ sei die Winkelgeschwindigkeit der Erde und $h_0$ sei die Anfangshöhe des Balls. Dann folgt aus der Drehimpulserhaltung, dass

(R + H_{0})^{2} ω_{0} = (R + H)^{2} ω (H) \Rightarrow ω (H) = ω_{0} (1 + \frac{2}{R} (H_{0} - H))

$(R+h_0)^2\omega_0 = (R+h)^2 \omega(h)\Rightarrow \omega(h)=\omega_0(1+\frac{2}{R}(h_0-h))$ Lassen

Δ ω

$\Delta \omega$ sei die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten der Kugel und der Erde und

Δ ϕ

$\Delta \phi$ sei die Differenz ihrer Winkel. Dann folgt das

Δ ϕ = \int_{0}^{T} Δ ω D T = \frac{2 ω_{0}}{R} \int_{0}^{T} H_{0} - H (T) D T

$\Delta \phi = \int_0^T \Delta \omega \,\mathrm{d}t = \frac{2\omega_0}{R}\int_0^T h_0-h(t) \,\mathrm{d}t$ Einstecken

h_{0} - h (t) = \frac{g}{2} t^{2}

$h_0-h(t) = \frac{g}{2}t^2$ Und

T = \sqrt{\frac{2 h_{0}}{g}}

$T = \sqrt{\frac{2h_0}{g}}$ Man erhält

Δ ϕ = \frac{ω_{0} G}{R} \int_{0}^{\sqrt{\frac{2 H_{0}}{G}}} T^{2} D T

$\Delta \phi = \frac{\omega_0 g}{R}\int_0^{\sqrt{\frac{2h_0}{g}}}t^2 \, \mathrm{d}t$ und deshalb

X = R Δ ϕ = \frac{2 ω_{0} H_{0}^{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}{3 \sqrt{G}}

$x = R\Delta \phi = \frac{2\omega_0 h_0^{\frac{3}{2}}\sqrt{2}}{3\sqrt{g}}$

Hervorragende Antwort! Ein paar Punkte: Es wurde eine Serienerweiterung verwendet $\omega(h)$ , wurde der sehr kleine Term der Zentripetalbeschleunigung in der Bewegungsgleichung in radialer Richtung ignoriert, um h0 – h(t) zu berechnen, und es wurde angenommen, dass das Objekt am Äquator fallen gelassen wurde.

Abweichung frei fallender Objekte (Coriolis-Effekt) unter Nutzung des Drehimpulserhaltungssatzes

Sorën

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Dirakologie

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