Corioliskraft und Drehimpulserhaltung

Das ist in der Tat verwirrend. Die Verwirrung kommt von dieser sehr eigenartigen Hypothese:

Was ist, wenn die Person keine tangentiale Reibungskraft an ihren Füßen anwendet?

Es impliziert, dass an den Füßen der Person eine radiale Kontaktkraft vorhanden ist (ich bevorzuge "Kontakt" gegenüber "Reibung", was sich auf Bewegung bezieht). Und in der Tat, damit sich die Person radial nach innen bewegt oder sogar im Karussell unbeweglich bleibt, muss sie die Zentrifugalbeschleunigung zumindest ausgleichen.

Stellen wir uns also vor, wie die Person tangential "reibungslos" und radial "reibungslos" sein könnte: Angenommen, es gibt rutschige konzentrische Schienen über das ganze Karussell, auf die sich die Person stützen kann, um sich radial zu bewegen, die sie jedoch daran hindern, die Rotationsgeschwindigkeit zu steuern.

Angenommen, die Person beginnt in Bezug auf die Radiusschiene unbeweglich$r$auf denen sie stehen. Wenn die Person nach innen tritt, erfährt sie die besagte tangentiale Coriolis-Beschleunigung, wodurch sie beginnt, gegen den Uhrzeigersinn entlang der inneren Radiusschiene zu gleiten$r-δr$auf dem sie jetzt stehen, an$δω$in Bezug auf das Karussell. Ihre Rotationsgeschwindigkeit gegenüber dem Labor ist jetzt$ω+δω$, Und$δω$ist so, dass sich ihr Drehmoment nicht geändert hat:$rω=(r-δr)(ω+δω)$.

Meiner Meinung nach wäre die Bewegung der Person, gesehen im Laborrahmen, eine lineare Bewegung, weil die Person am Anfang eine tangentiale Geschwindigkeit hat$ωr$und Radialgeschwindigkeit$v$, und er wird diese beiden für immer behalten. Aber macht es dann Sinn, von Drehimpulserhaltung zu sprechen? Ich meine, es wird sicherlich im Laborrahmen konserviert, aber die Bewegung ist auf einer geraden Linie (soweit ich sehen kann).

Es macht Sinn! Denken Sie daran, dass wir, um über Drehimpuls zu sprechen, nicht unbedingt über Drehbewegung sprechen müssen. Stellen Sie sich ein Teilchen im freien Fall in der Nähe der Erde mit seiner ursprünglichen Position vor$(0,d,h)$und Nullgeschwindigkeit. Nach der Formel$\vec L=\vec r\times\vec p$man kann sehen, dass es in Bezug auf jeden Punkt auf der Linie einen verschwindenden Drehimpuls hat$(0,d,z)$, aber nicht verschwindender Drehimpuls bezüglich des Ursprungs. Letzteres ist

$$\vec L=m(d\hat j+z\hat k)\times\left(-\sqrt{2g(h-z)} \hat k\right)=-md\sqrt{2g(h-z)}\hat i.$$ Beachten Sie, dass der Drehimpuls durch den Fall nicht erhalten bleibt, obwohl die Bewegung auf einer geraden Linie verläuft . Es gibt ein Drehmoment um den Ursprung.

Zurück zu Ihrem Beispiel: Der Drehimpuls bleibt erhalten, weil das Teilchen kein Drehmoment hat und nicht, weil es sich auf einer geraden Linie befindet.

Nachdem ich Ihre Frage erneut gelesen hatte, versuchte ich zu beweisen, warum und wie der Drehimpuls erhalten bleibt. In dem durch die Frage gegebenen Beispiel muss man verstehen, wie der Drehimpuls eines Objekts, das sich in einem rotierenden, nicht trägen Rahmen bewegt, erhalten bleibt. Ich werde kurz meinen Versuch darlegen, zu beweisen, wie und warum der Drehimpuls ein Integral der Bewegung ist. Der erste Absatz unten wird der Vollständigkeit halber angegeben, und man kann zum zweiten springen, wo das hier betrachtete Problem auftritt.

Zuerst versuchte ich zu beweisen, dass der Drehimpuls zeitlich konstant ist, wenn die Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Systems konstant ist. Das heißt, wenn r,u die Polarkoordinaten mit z=0 sind, dann$u=ωt$. Da wir überhaupt kein Potential haben, bauen wir die Lagrange-Funktion auf:

$$L=T(kinetic energy) = (½) [ \dot r^2 + (r \dot u )^2 ] .$$ Man findet dann, dass der Drehimpuls ist $p_u = { \partial L \over \partial \dot u} =r^2 \dot u$. Konstruieren Sie die Hamilton-Funktion $H=p_r \dot r +p_u \dot u -L$finden $H=p_r ^2 + {p_u ^2 \over 2r^2} ={ \dot r^2 \over 2} + {r^2 \dot u^2 \over 2}$. Dann ist es offensichtlich, ${\partial H \over \partial u} =0 = \dot p_u$. Der Drehimpuls ist also eine Bewegungskonstante.

Zweitens und in Bezug auf Ihre Frage habe ich versucht, dasselbe für eine nicht konstante Winkelgeschwindigkeit zu beweisen$\ddot u \ne 0$. Was man sehen kann ist, dass die Funktionen (L und H) die gleiche Form haben werden, aber mit einem Unterschied:$\dot u= \dot u(t) .$Wie auch immer, wenn die Funktionen die gleiche Form haben, dann:

$$H=p_r ^2 + {p_u ^2 \over 2r^2} ={ \dot r^2 \over 2} + {r^2 \dot u^2 \over 2},$$

und wieder sehen wir das

$${\partial H \over \partial u} = \dot p_u =0 ,$$ das heißt, der Drehimpuls ist eine Bewegungskonstante. Dann, indem man die zeitliche Ableitung von nimmt $p_u$wir haben:

$$(d/dt) p_u= \dot p_u ={d \over dt} (r^2 \dot u) = 2r \dot r \dot u +r^2 \ddot u .$$ Dies ist das gleiche Ergebnis, das Ihr Beispiel liefert. Aber jetzt haben wir bewiesen, dass der Drehimpuls eine Bewegungskonstante ist, also $\dot p_u =0$und wir kommen zu der durch Ihr Beispiel gegebenen Gleichung:

$$2r \dot r \dot u =-r^2 \ddot u .$$

Aber was ist nun mit dem Trägheitsbezugssystem? Wir verstehen, dass die Bewegung eine Linie sein wird, aber das haben wir in der vorherigen Analyse nicht verwendet, warum also hier? Was wir uns vorstellen können, um das Problem besser zu verstehen, ist das folgende Bild:

Dies zeigt uns (glaube ich ...), dass sich sowohl der Abstand r als auch der Winkel u während der Bewegung ändern können, etwas, das dem nahe kommt, was eine andere Antwort hier auf Ihren Beitrag argumentiert: dass der Drehimpuls möglicherweise nicht vorbei ist Tautologie Null. Also finden wir durch genau dasselbe Verfahren wie zuvor, indem wir in Poolar-Koordinaten arbeiten, den Hamilton-Operator. Wir folgern offensichtlich, dass der Drehimpuls null sein wird. Wenn wir annehmen, dass sich das Teilchen auf dem Weg bewegt, so dass$\dot u =0$, das heißt, dass der Winkel des Teilchens konstant ist, dann sehen wir, dass die Lagrange-Funktion ist:$L= (½) \dot r^2$. Es besteht keinerlei Winkelabhängigkeit.

Hoffe das alles hilft. Was wir sehen, ist, dass wir sogar im Inertialsystem von Drehimpulsen sprechen können, die nur von der Bahn (linear) des Teilchens in Bezug auf den Ursprung abhängen. Im Fall des rotierenden Systems wird diese Tatsache in eine Coriolis-Kraft übersetzt, eine Möglichkeit, für den Beobachter dort die Erhaltung des Drehimpulses zu sehen. Wenn der Winkel konstant ist, nehmen wir das, was Sie in Ihrem Beispiel argumentieren, als offensichtlich an: Erhaltung ist eine Tautologie. In allen anderen Fällen stellen wir tatsächlich fest, dass die Erhaltung eine Beschleunigung des Systems impliziert.