Kugel rollt entlang einer elastischen Bahn

Es ist ein interessantes Problem.

Das elastische Band erzeugt nur dann eine vertikale Kraft auf den Ball, wenn es an der Kontaktstelle gebogen wird. Wenn der Ablenkwinkel zwischen den beiden Teilen des Bandes ist$\theta$, und die Spannung in der Band ist$T$, dann ist die Kraft auf den Ball$F=2T\sin\frac{\theta}{2}$;

Diese Kraft wirkt in einem Winkel auf die Kugel$\alpha$(was eine Funktion der Trennung der Bänder und der Größe des Balls ist). Auch hier ist die vertikale Kraft eine Funktion von beiden$F$Und$\alpha$; Wenn$\alpha$ist der Winkel zwischen der Vertikalen und der Linie von der Mitte des Balls zum Kontaktpunkt, die vertikale Kraft aufgrund jedes elastischen Bandes$F\cos\alpha$, und da es zwei Bänder gibt, ist die Gesamtkraft$2F\cos\alpha$:

Jetzt$\alpha$bezieht sich auf den Abstand zwischen den Bändern; Wenn die Bands weiter auseinander gehen,$\alpha$zunimmt und die vertikale Kraft abnimmt. Gleichzeitig nimmt der Winkel des Bandes zu, sodass die Spannungskomponente zunimmt.

Ich hoffe, Sie können es von hier aus tun - wenn Sie immer noch nicht weiterkommen, kann ich Ihnen morgen weitere Einzelheiten mitteilen.

AKTUALISIERTE ANTWORT

Das Diagramm unten links zeigt einen Querschnitt entlang der Länge der elastischen Schienen. Die Kugel (blau) ruht auf den 2 Drähten (rot). Unter der Annahme, dass keine Reibung zwischen Kugel und Schienen besteht, sind die Kontaktkräfte (N), die die Kugel auf die Schienen ausübt, senkrecht zur Kugeloberfläche und radial nach außen. Es gibt also horizontale Komponenten von N, die die elastischen Drähte nach außen und unten drücken. Die Drähte üben gleiche und entgegengesetzte Kräfte N auf die Kugel aus und drücken sie nach innen und nach oben.

Das ist die Bedingung für das Gleichgewicht$2N\cos B=W=mg\cos\theta$, Wo$\theta$ist der lokale Neigungswinkel der Schienen - entweder aufgrund der lokalen Verformung oder der globalen Neigung zwischen den Stützen. Wenn die Netzspannung$F$in der Schiene normal zur Oberfläche der Kugel dann$N$entspricht der Kraft von Floris$F$. Wenn die Kugel gerade so schwer ist, dass sie zwischen die Schienen rutscht, geschieht dies in der Mitte, wo$\theta$ist die Neigung zwischen den Stützen.

Die mittlere Abbildung ist die gleiche Ansicht wie links, konzentriert sich jedoch auf die Bewegung der Schienen. Die Schienen und Stützen befinden sich anfänglich bei X, bevor die Kugel den Mittelpunkt erreicht. Wenn sich die elastische Schiene ausdehnt und durchbiegt, bewegt sich der Kontaktpunkt nach außen, während sich die Stütze relativ zur Kugel vertikal nach oben bewegt.

Befindet sich der Kontaktpunkt bei Y, während sich die Stütze bei X" befindet, befindet sich die Schiene in der Ebene YX" mit Nettozugkraft$F$entlang YX gerichtet"; es gibt eine Komponente dieser Kraft$F$was dazu neigt, die Schiene um die Kugeloberfläche herum weiter nach außen zu bewegen. Wenn die Stütze bei X' auf Radius OY ist, dann die Kraft$F$von der Schiene ist normal zur Oberfläche der Kugel;$F=N$und es gibt keine Tendenz für die Schiene, sich weiter um die Kugel zu bewegen, weder nach innen noch nach außen.

Die Abbildung ganz rechts zeigt die Verlängerung der Schienen und ihre Verbindung mit z=YX' in der mittleren Abbildung. Winkel$A=\frac12\theta$in Floris' 1. Diagramm.

Aus der Geometrie in den mittleren und rechten Figuren haben wir:
$(a-z)\sin B=w$
$L^2-L_0^2=(L-L_0)(L+L_0) \approx z^2$
$x=L-L_0 \approx \frac{z^2}{2L_0}$
Weil$L \approx L_0$. Hier$a$ist der Radius der Kugel,$2w$ist die seitliche Trennung der Stützen und$2L_0$die Längstrennung.

Wenn$N=F$dann wird dies durch Substitution mit z als praktischem Parameter zu:

Mit den Werten für$m, a, w, L_0$die Sie geliefert haben, und nehmen Sie einen Mittelwert von$\theta=15^{\circ}$, ich habe die RHS (rot) für die 2 Werte von aufgetragen$m$in der Grafik unten.

Die verbleibende Aufgabe besteht darin, die vorgespannte Spannung zu finden$T_0$was den erforderlichen Wert von ergibt$T$zur optimalen Trennung der Kugeln in der Mitte. Die Schwierigkeit besteht darin, dass das Hookesche Gesetz möglicherweise nicht für die elastischen Saiten gilt. Sie müssen die Belastung untersuchen$T$gegen Erweiterung$x$experimentell, um zu sehen, ob es zutrifft und unter welchen Bedingungen. Laut wirken Gummibänder wie Federn? , wenn das Gummiband nicht zu schnell gedehnt wird und eine anfängliche Mindestdehnung überschritten hat, gehorcht es einer modifizierten Version des Hookeschen Gesetzes :
$T=kx+c$
Wo$k$Und$c$sind Konstanten, die Sie aus Ihrem Diagramm der Belastung gegenüber der Ausdehnung finden können. Wenn$z=0$dann ist die vorgespannte spannung in den schienen$T_0$damit wir schreiben können
$T=T_0+k\frac{k}{2L_0}z^2$.
Dies kann im selben Diagramm (blau) mit beliebigen Werten von dargestellt werden$T_0$die blaue Linie vertikal zu verschieben, bis sie die roten Linien mit dem größten Abstand schneidet, so dass eine kleine Spannungsänderung eine große Änderung der Masse bewirkt, die durchfällt. (Ich habe einen willkürlichen Wert von angenommen$k=500$).

Der beste Wert dafür ist$T_0 \approx 2$. Aus dieser und Ihrer Gleichung$T=kx+c$Sie können herausfinden, welche Länge des ungedehnten Gummibands Sie benötigen.

Ich nehme das an$a$Und$m$sind Konstanten, Dinge, die Sie nicht variieren können. Werte, die Sie variieren können, sind$w, L_0, \theta, T_0$. Eine zu stellende Frage lautet: Welche Kombination dieser Variablen ermöglicht Ihnen die maximale Unterscheidung zwischen den beiden gegebenen Massen? Sie könnten die Vorhersagen für verschiedene Kombinationen von Parametern untersuchen, insbesondere für diejenigen, die den größten Einfluss haben.

Einige Einschränkungen der obigen Analyse:

• Reibung wird nicht berücksichtigt. Während dies bei Marmor gering sein mag, ist es bei Holz wahrscheinlich signifikant.

• Die rollenden Kugeln können Vibrationen in den Saiten verursachen, die dazu beitragen, dass sie leichter um die Kugeln gleiten. Dies kann die Reibung etwas kompensieren oder vielleicht überkompensieren und dazu führen, dass Bälle mit mehr Spannung fallen, als diese Theorie vorhersagt.