Lichtvektor mit vier Geschwindigkeiten

Aus "Ein erster Kurs in der Allgemeinen Relativitätstheorie" :

2.3 Die vier Geschwindigkeiten

Ein besonders wichtiger Vektor ist die Vierergeschwindigkeit einer Weltlinie. ... In unserer Vierergeometrie definieren wir die Vierergeschwindigkeit$\vec U$ein Vektor zu sein, der die Weltlinie des Partikels tangiert, und von einer solchen Länge, dass er eine Zeiteinheit im Rahmen dieses Partikels ausdehnt.

Das unmittelbare Problem bei einem Photon ist, dass es keinen Rahmen hat. Schutz macht dies hier deutlich:

2.7 Photonen

Kein Viergang . Photonen bewegen sich auf Nulllinien, also gilt für einen Photonenweg

$$\mbox{d}\vec x \cdot \mbox{d}\vec x = 0$$

Deshalb$\mbox{d}\tau$Null ist und Gl. (2.31)$[\vec U = \mbox{d}\vec x / \mbox{d}\tau]$zeigt, dass die Vierergeschwindigkeit nicht definiert werden kann. Eine andere Art, dasselbe auszudrücken, ist zu bemerken, dass es keinen Rahmen gibt, in dem Licht ruht (das zweite Postulat von SR), also gibt es kein MCRF für ein Photon. Also nein$\vec e_0$in jedem Rahmen tangiert die Weltlinie eines Photons.

Beachten Sie sorgfältig, dass es immer noch möglich ist, Vektoren zu finden, die den Weg eines Photons tangieren (der als gerade Linie überall dieselbe Tangente hat):$\mbox{d}\vec x$ist ein. Das Problem besteht darin, eine Tangente der Einheitsgröße zu finden , da sie alle eine verschwindende Größe haben.

Die Antwort auf Ihre erste Frage lautet also: Die Vierergeschwindigkeit ist für Photonen nicht definiert .

Kurze Antwort:

• Wenn der Begriff "Viergeschwindigkeit" im engeren Sinne verwendet wird$d x^\mu/d\tau$Wo$\tau$die Eigenzeit des Objekts ist, dann ist die Vierergeschwindigkeit für Licht undefiniert, weil die verstrichene Eigenzeit immer Null ist ($d\tau=0$) entlang einer lichtartigen Weltlinie.

• Wird der Begriff "Vier-Geschwindigkeit" im verallgemeinerten Sinne verwendet$dx^\mu/d\lambda$Wo$\lambda$ein affiner Parameter ist, der entlang der lichtähnlichen Weltlinie monoton zunimmt, dann ist die Vierergeschwindigkeit für Licht vollkommen wohldefiniert.

Die Vierer-Geschwindigkeit ist also für Licht entweder undefiniert oder für Licht wohldefiniert, je nachdem, was der Sprecher/Schreiber unter „Vier-Geschwindigkeit“ versteht.

In der Relativitätstheorie haben wir also diese Dinge, die Vierervektoren genannt werden. Lassen$a$ein Vierervektor sein, dann hat er in jedem gegebenen Koordinatensystem vier Komponenten:$a^w$in Zeitrichtung$w=ct$,$a^{x,y,z}$in Raumrichtung.

Seine quadratische Größe ist definiert durch:

$$a_\mu a^\mu = (a^w)^2 - (a^x)^2 - (a^y)^2 - (a^z)^2.$$ Wenn dies negativ ist, sagen wir, dass der Vierer-Vektor „raumartig“ ist, oder wenn er positiv ist, sagen wir, dass der Vierer-Vektor „zeitlich“ ist, und wenn er Null ist, sagen wir, dass er null oder „leicht “ ist -wie." Und dann, wenn es wie ein Raum ist, können wir entweder die normale Quadratwurzel ziehen und eine imaginäre Zahl erhalten, oder nehmen$\sqrt{-a_\mu a^\mu}$um eine positive Zahl zu erhalten, die wir die Größe nennen können; wenn es zeitartig ist, dann die normale Quadratwurzel$\sqrt{a_\mu a^\mu}$reicht aus, um eine Größe aus einer quadrierten Größe zu erhalten. So wie Rotationen Vektorlängen bewahren, bewahren Lorentz-Transformationen quadratische Größen.

Die Vierergeschwindigkeit ist einer dieser Vierervektoren. Wenn wir das richtige Koordinatensystem wählen, damit Ihre vier Geschwindigkeit entlang liegt, sagen wir, die$z$-Achse, dann wird sie für Partikel als Vektor definiert

$$v^w = c \cosh \phi,\\ v^{x,y}=0,\\ v^z = c\sinh \phi,$$ für irgendeine Zahl$\phi$, und es entspricht etwas, das sich schnell bewegt$c\tanh\phi.$Diese Funktionen, falls Sie ihnen noch nicht begegnet sind, sind die hyperbolischen Funktionen .

Das Einsetzen in die obige Gleichung ergibt

$$v_\mu v^\mu = c^2(\cosh^2\phi - \sinh^2 \phi) = c^2,$$ so dass die Vierergeschwindigkeit immer auf einen konstanten Wert normiert ist , ist sie zeitähnlich mit der Größe$c$. In der Tat könnten Sie sich vorstellen, dass es sich um den Nicht-Vier-Vektor-Tangentenvektor zur Bewegung des Teilchens in der Raumzeit handelt.$(c, 0, 0, c\tanh\phi)$, aber das wurde normalisiert, um eine konstante Größe zu haben$c$, so dass Lorentz-Transformationen diese Länge erhalten können.

Ob Sie nun diesen normalisierten Wert als Teil der Definition von Vierergeschwindigkeit nehmen, das ist eher eine ästhetische Meinung als etwas, das Ihnen die Mathematik aufzwingt. Aber es gibt einen Grund zur Sorge.

Sehen Sie, Sie können einen lichtähnlichen Tangentenvektor nicht in eine normale Vierergeschwindigkeit normalisieren, weil seine quadratische Größe null ist. Also, wenn Sie den Punkt in der Raumzeit haben$(w,x,y,z) = (ct_0, x_0, y_0, z_0)$und Sie fügen ein wenig Zeit hinzu$dt$dazu bewegt sich ein Lichtstrahl von diesem Punkt in den$z$-Richtung ist jetzt am Punkt$(ct_0 + c~dt, x_0, y_0, z_0 + c~dt)$und die Differenz zwischen diesen beiden Punkten ist ein Vierervektor,

$$T^w = c~dt, T^{x,y} = 0, T^z = c~dt.$$ Das würden wir aber finden$T_\mu T^\mu = 0$und es gibt nichts, womit Sie es multiplizieren können, um ihm eine konstante Größe zu geben$c$.

Sie könnten auf diese Tatsache antworten, indem Sie sagen: „Das ist katastrophal! Sagen wir, Licht hat keine Vierergeschwindigkeit!“ – oder Sie könnten stattdessen antworten, indem Sie sagen: „Okay, aber das ist eigentlich ein verkappter Segen, es bedeutet nicht, dass keine Normalisierungen möglich sind, so sehr wie alle Normalisierungen trivial sind , I Ich kann frei wählen, was ich will!“. Beide Antworten haben einen gewissen Wert. Ich persönlich tendiere aus folgendem Grund zum ersten: Meine Bauchentscheidung für den zweiten ist, einen lichtähnlichen Tangentenvektor als zu normalisieren$(c, 0, 0, c)$, so dass die Zeitkomponente konstant ist. Bei dieser Normalisierung gibt es jedoch ein Problem: Die Lorentz-Transformation wird sie nicht beibehalten . Es wird den Vektor richtig transformieren, aber ich muss ihn auch im neuen Kontext neu normalisieren. Mir persönlich gefällt dieser Aspekt nicht besonders.

Abgesehen davon gibt es gelegentlich Gründe, dies zu tun. Am einfachsten wäre es, wenn Sie darüber nachdenken würden, wie das Universum aussieht, wenn Sie sich durch es bewegen: Sie würden Nullstrahlen von allen Sternen, die Sie in dieser Sekunde sehen können, auf Ihr Gesicht ziehen: und dann wäre es schön zu sein projizieren Sie dies alles so, als ob es aus einer Sphäre mit festem Radius käme$R$in deren Zentrum Sie sich gerade befinden: einer „Himmelskugel“. Und das ist im Wesentlichen dieselbe Normalisierung, die ich oben beschrieben habe, als ich die Zeitkomponente auf einen festen Wert festgelegt habe$c$. Sie könnten dann einen Lorentz-Boost in eine Richtung ausführen, sodass die Kugel einer anderen Kugel zugeordnet wird, und Sie könnten die neue Kugel zurück auf eine neue Kugel mit festem Radius projizieren$R$, wobei ich feststellte, dass sich alle Sterne infolge meines Boosts scheinbar am Himmel verschoben haben (genauer gesagt: sie scheinen sich alle in die Richtung verschoben zu haben, in die ich beschleunigte). Ein ähnliches Argument über das Licht, das ich aussende, würde darauf hindeuten, dass sich auch alles in diese Richtung gedrängt hat, was zu einem bekannten Phänomen namens relativistisches Strahlen führt , bei dem etwas, das Licht aussendet, es bevorzugt in die Richtung aussendet, in die es sich bewegt, wenn es sich schneller bewegt und schneller.