Lösungsverifikation: Zeigen Sie, dass ∑ni=0(n+an−i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)∑i=0n(n+an−). i)(i+a+1i)=2n(n+aa)+2n−1(n+aa+1)\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{ni}\ binom{i+a+1}{i}}=2^{n}\binom{n+a}{a}+2^{n-1}\binom{n+a}{a+1} für n ≥1n≥1n\geq 1

Ich habe es gelöst, indem ich dasselbe Objekt mit verschiedenen Methoden gezählt habe. Sagen Sie, dass es sie gibt$n+a$Jungs u$1$Mädchen. Ich möchte ein Team bilden$a+1$Kinder mit einigen Reservespielerinnen, aber ich möchte, dass das Mädchen entweder in der Mannschaft oder zumindest Reservespielerin ist.

Methode 1

Ich wähle zuerst aus$i+a$Jungs, dann von diesen und dem Mädchen ($i+a+1$Kinder) wähle ich aus$a+1$im Team sein, während der Rest ($i$Kinder) werden die Reservespieler sein. Die Anzahl der Möglichkeiten ist;

$\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{i+a}\binom{i+a+1}{a+1}}= \sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{n-i}\binom{i+a+1}{i}}$

Methode 2

Wenn das Mädchen im Team ist, muss ich auswählen$a$Jungen, um das Team zu vervollständigen, während die verbleibenden$n$Jungen können Reservespieler sein oder nicht. Die Anzahl der Möglichkeiten ist;

$2^{n}\binom{n+a}{a}$

Wenn das Mädchen nur Reservespielerin ist, muss ich auswählen$a+1$Jungs im Team sein, während die restlichen$n-1$Jungen können Reservespieler sein oder nicht. Die Anzahl der Möglichkeiten ist;

$2^{n-1}\binom{n+a}{a+1}$

Abschluss

Da beide Methoden dieselben Objekte zählen, kann ich daraus schließen;

$\sum_{i=0}^{n}{\binom{n+a}{n-i}\binom{i+a+1}{i}}=2^{n}\binom{n+a}{a}+2^{n-1}\binom{n+a}{a+1}$

Ich möchte wissen, ob meine Lösung richtig ist und ob es eine andere Lösung gibt.