Masse, die im freien Fall von der Feder hängt

Question

Masse, die im freien Fall von der Feder hängt

max

F: Eine Masse $m$ hängt an einer masselosen Feder, die mit dem Dach einer Massebox verbunden ist $M$ . Wenn die Box stationär gehalten wird, schwingt das Masse-Feder-System vertikal mit Kreisfrequenz $\omega$ . Wenn die Kiste fallen gelassen wird, warum steigt die Winkelfrequenz an?

Also haben wir zunächst $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ , Wo $k$ ist die Federkonstante. Ich habe gelesen, dass die neue Kreisfrequenz im freien Fall ist $\omega'=\sqrt{\frac{k}{\mu}}$ , Wo $\mu=\frac{Mm}{M+m}$ ist die reduzierte Masse, dh $\omega'=\sqrt{\frac{k(M+m)}{Mm}}$ was deutlich größer ist als $\omega$ .

Ich bin mir nicht sicher, warum das wahr ist - ich vermute, dass es etwas damit zu tun hat, dass die Box schwingt (da sie nicht mehr stationär gehalten wird), aber ich bin mit dem Konzept der reduzierten Masse nicht allzu vertraut, also würde ich eine sehr schätzen gute Erklärung.

K. Kirilow

Suchen Sie nach einer intuitiveren oder mathematischeren Erklärung?

max

Ich hätte gerne eine konkrete mathematische, wenn möglich

K. Kirilow

Reicht die Ableitung von Wikipedia aus? en.wikipedia.org/wiki/Reduced_mass#Newtonian_mechanics

max

Ich verstehe die Ableitung, aber ich bin mir nicht sicher, wie genau sie in dieser Situation angewendet wird. Offensichtlich sind zwei Objekte die Kiste und die Masse

m

$m$ , aber warum ist die relative Beschleunigung für einen Beobachter relevant, der von außerhalb des Kastens zuschaut? Und wie wirkt sich der Frühling darauf aus?

K. Kirilow

Das Folgende ist eher eine fundierte Vermutung als eine Tatsachenbehauptung. Wenn Sie denken, dass ich in der richtigen Richtung bin, könnte ich nachlesen und versuchen, eine Antwort zu geben. In Wirklichkeit haben Sie immer

ω = \sqrt{\frac{k (M + m)}{M m}}

$\omega = \sqrt{\frac{k(M + m)}{Mm}}$ Aber falls

M

$M$ ist sehr groß, im Vergleich zu

m

$m$ du hast

M + m \approx M

$M + m \approx M$ also die

(M + m)

$(M + m)$ aus dem Zähler hebt die auf

M

$M$ im Nenner, also bleibt dir nur übrig

\sqrt{\frac{k}{m}}

$\sqrt{\frac{k}{m}}$ . Während die Box stationär ist

M

$M$ ist die Masse der Kiste + die Masse der Erde, also ist sie sehr groß im Vergleich zu

m

$m$ und im freien Fall ist es nur die Masse der Kiste.

Antworten (2)

Masse, die im freien Fall von der Feder hängt

Suchen Sie nach einer intuitiveren oder mathematischeren Erklärung?
Reicht die Ableitung von Wikipedia aus? en.wikipedia.org/wiki/Reduced_mass#Newtonian_mechanics
Ich verstehe die Ableitung, aber ich bin mir nicht sicher, wie genau sie in dieser Situation angewendet wird. Offensichtlich sind zwei Objekte die Kiste und die Masse $m$ , aber warum ist die relative Beschleunigung für einen Beobachter relevant, der von außerhalb des Kastens zuschaut? Und wie wirkt sich der Frühling darauf aus?
Das Folgende ist eher eine fundierte Vermutung als eine Tatsachenbehauptung. Wenn Sie denken, dass ich in der richtigen Richtung bin, könnte ich nachlesen und versuchen, eine Antwort zu geben. In Wirklichkeit haben Sie immer $\omega = \sqrt{\frac{k(M + m)}{Mm}}$ Aber falls $M$ ist sehr groß, im Vergleich zu $m$ du hast $M + m \approx M$ also die $(M + m)$ aus dem Zähler hebt die auf $M$ im Nenner, also bleibt dir nur übrig $\sqrt{\frac{k}{m}}$ . Während die Box stationär ist $M$ ist die Masse der Kiste + die Masse der Erde, also ist sie sehr groß im Vergleich zu $m$ und im freien Fall ist es nur die Masse der Kiste.

Bunji · Answer 1

Trotz der seltsamen Geometrie des Problems sind dies einfach zwei Massen, die durch eine Feder verbunden sind, und wir können dieses Problem mithilfe der Lagrange-Mechanik lösen. Nehmen wir an, die Massen haben Masse $M$ und m und Positionskoordinaten $x_M$ Und $x_m$ bzw. Sie sind auch durch eine Distanz getrennt $d$ , und die Federkonstante ist $k$ .

Wir werden verwenden $\alpha$ als verallgemeinerte Koordinate, die darstellt, wie weit sich die Massen vom Gleichgewicht entfernt haben:

a = X_{M} - X_{M} - D

$\alpha = x_M - x_m - d$

Beachten Sie auch das

\dot{a} = {\dot{X}}_{M} - {\dot{X}}_{M},

$\dot{\alpha} = \dot{x}_M - \dot{x}_m,$ Weil

d

$d$ ist eine Konstante, und wir können einen Rahmen wählen, in dem der Gesamtimpuls des Systems Null ist, was uns gibt

M {\dot{X}}_{M} = - M {\dot{X}}_{M}

$m \dot{x}_m = -M \dot{x}_M$

Wir können die kinetische Energie schreiben als

T = \frac{1}{2} M {\dot{X}}_{M}^{2} + \frac{1}{2} M {\dot{X}}_{M}^{2},

$T = \frac{1}{2} m \dot{x}_m^2 + \frac{1}{2} M \dot{x}_M^2,$ und dann in unsere verallgemeinerte Koordinate transformieren

α

$\alpha$ unter Verwendung der beiden obigen Gleichungen:

T = \frac{1}{2} M {\dot{X}}_{M}^{2} + \frac{1}{2} M ({\dot{X}}_{M} \frac{M}{M})^{2}

$T = \frac{1}{2} m \dot{x}_m^2 + \frac{1}{2} M \Big(\dot{x}_m \frac{m}{M}\Big)^2$

T = \frac{1}{2} M (- \dot{a} \frac{M}{M + M})^{2} + \frac{1}{2} M ((- \dot{a} \frac{M}{M + M}) \frac{M}{M})^{2}

$T = \frac{1}{2} m \Big( -\dot{\alpha} \frac{M}{m+M}\Big)^2 + \frac{1}{2} M \Big( \Big( -\dot{\alpha} \frac{M}{m+M}\Big) \frac{m}{M}\Big)^2$

T = \frac{1}{2} \frac{M M^{2}}{(M + M)^{2}} {\dot{a}}^{2} + \frac{1}{2} \frac{M^{2} M}{(M + M)^{2}} {\dot{a}}^{2}

$T= \frac{1}{2} \frac{m M^2}{(m+M)^2} \dot{\alpha}^2+ \frac{1}{2} \frac{m^2 M}{(m+M)^2}\dot{\alpha}^2$

T = \frac{1}{2} \frac{M M}{M + M} {\dot{a}}^{2}

$T= \frac{1}{2} \frac{m M}{m+M} \dot{\alpha}^2$

T = \frac{1}{2} μ {\dot{a}}^{2},

$T= \frac{1}{2} \mu \dot{\alpha}^2,$ Wo

μ

$\mu$ ist die reduzierte Masse.

Die potentielle Energie ist viel einfacher zu finden:

U = \frac{1}{2} k a^{2} .

$U = \frac{1}{2} k \alpha^2.$ Unser Lagrange ist dann

L = T - U

$L = T-U$

L = \frac{1}{2} μ {\dot{a}}^{2} - \frac{1}{2} k a^{2},

$L = \frac{1}{2}\mu \dot{\alpha}^2 - \frac{1}{2} k \alpha^2,$ die in die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt werden kann

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{a}} - \frac{\partial L}{\partial a} = 0.

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} - \frac{\partial L}{\partial \alpha}=0.$

Diese Gleichung ist leicht von Hand zu lösen:

μ \ddot{a} + k a = 0.

$\mu \ddot{\alpha}+k \alpha = 0.$

Dies ist eindeutig die Gleichung für einen einfachen harmonischen Oszillator mit Kreisfrequenz $\sqrt{k/\mu}$ , das ist die Antwort, nach der Sie gesucht haben!

JThomas · Answer 2

Eine Masse hängt an einer Feder unter der Schwerkraft am Dach eines Kastens, und das Masse-Feder-System schwingt vertikal mit der Kreisfrequenz w.

Dann wird die Kiste fallen gelassen und fällt frei, während sich die Masse nach unten bewegt.

Die Schnur wird gespannt, bis sich die Kiste und die Masse mit gleicher Geschwindigkeit bewegen. Dann zieht die Feder die Masse und den Kasten aufeinander zu. Es gibt keine Kraft, die sie auseinanderdrückt, bis sie aufeinander treffen, und das Problem sagt nicht aus, wie elastisch ihr Zusammenstoß ist.

Das Problem liefert also nicht die Informationen, die erforderlich sind, um zu sagen, ob sie weiter oszillieren werden oder wie hoch die Frequenz sein wird, wenn dies der Fall ist.

Masse, die im freien Fall von der Feder hängt

max

K. Kirilow

max

K. Kirilow

max

K. Kirilow

Antworten (2)

Bunji

JThomas

Entmystifizierung der Physik der Schwerelosigkeit bei Parabelflügen

Fiktive Kraft auf einen frei fallenden Körper?

Unterschied zwischen freiem Fall und konstanter Geschwindigkeit

Schwerelosigkeit im freien Fall und im freien Raum, ist das dasselbe?

Fallen schwerere Gegenstände schneller? [Duplikat]

Warum schwebt eine Person im freien Fall, anstatt im Boden des Aufzugs zu bleiben?

Festigung des Verständnisses der Zentrifugalkraft am Äquator im Vergleich zu den Polen

Frage über die vom Planeten Erde ausgeübte Normalkraft im Verhältnis zur Zentripetalkraft

Gravitations-/Zentrifugaleffekte in einem Weltraumaufzug

In diesem speziellen Problem: Ist die Masse des Systems die Masse der Person?