Mathematische Argumentation für Flüssigkeitsdruck als Skalar

Question

Mathematische Argumentation für Flüssigkeitsdruck als Skalar

Sean

Diese Frage von vor einiger Zeit und Antworten / Kommentare zu dieser Frage von früher heute erwähnen stark die Tatsache, dass der Flüssigkeitsdruck ein Skalar ist. Obwohl diese Information für mich überraschend war, macht sie intuitiv Sinn, insbesondere wenn man das Pascal-Prinzip und den Flüssigkeitstiefendruck berücksichtigt. Ich kämpfe jedoch, wenn ich über die mathematischen Gründe nachdenke, warum Druck ein Skalar ist, und die Antworten auf die erste verknüpfte Frage appellierten entweder an die Intuition, schienen umstritten oder unbefriedigend.

Meine Verwirrung rührt von der Tatsache her, dass Druck oft auf der High School / Undergrad-Ebene definiert wird als

P \equiv \frac{F}{A}

$P\equiv \frac{F}{A}$ wobei dies nicht nur eine Beziehung ist, sondern oft als Gleichungsdefinition von Druck dargestellt wird. Kraft ist ein Vektor, und ich hatte angenommen, dass die Fläche ein Skalar ist. Daher dachte ich immer, dass dies ein Skalarmultiplikationsproblem sei und das Produkt auch ein Vektor wäre. Jetzt, da ich weiß, dass Druck ein Skalar ist, kann ich einfach nicht verstehen, wie Sie aus dieser Beziehung einen Skalar für Druck bekommen würden. Ich sehe zwei Möglichkeiten:

1) Aus Gründen, die ich derzeit nicht verstehe, wird die Fläche in der Kontinuumsphysik als Vektor behandelt. Infolgedessen muss eine Art von Vektoralgebra angewendet werden, um einen Vektor durch einen anderen Vektor zu dividieren, um einen Skalar zu erhalten. Wenn dies der Fall ist, möchte ich in der Antwort zumindest einen Rahmen für diese Mathematik sehen.

2) Wenn Möglichkeit 1 nicht der Fall ist, dann ist die andere Möglichkeit meiner Meinung nach diese $P=\frac{F}{A}$ ist nicht wirklich die Definition von Druck, und es gibt eine grundlegendere Definition für Druck, die seine skalare Natur erklären würde.

Ist eine dieser Erklärungen richtig oder gibt es eine dritte Möglichkeit, die ich nicht berücksichtigt habe?

Ich habe versucht, diese Frage wesentlich anders zu stellen als die beiden anderen Fragen, auf die ich verlinkt habe, aber wenn dies nicht der Fall zu sein scheint, lassen Sie es mich bitte wissen.

Antworten (6)

Mathematische Argumentation für Flüssigkeitsdruck als Skalar

Benutzer10851 · Answer 1

Ich würde sagen, Druck ist besser definiert durch

\vec{F} = P \vec{A} .

$\vec{F} = P \vec{A}.$ Ja, wir definieren eine Menge, ohne sie ganz allein auf der linken Seite zu haben. Und ja, Fläche ist ein Vektor. Und wie Sie vermutet haben, führt der Versuch, einen Vektor durch einen anderen zu teilen, zu Problemen, also werden wir es nicht tun.

Lassen Sie mich erklären, woher das kommt und wofür es eine Abkürzung ist. In der Kontinuumsmechanik interessieren wir uns oft für Strömungen der einen oder anderen Größe. Insbesondere sollten wir Impulsströme betrachten, bei denen diese Ströme in jede Richtung gehen können.

Lassen Sie uns der Einfachheit halber in kartesischen Koordinaten arbeiten. Dann kann man sich das vorstellen $x$ -, $y$ -, oder $z$ -Impuls fließt in die $x$ -, $y$ -, oder $z$ -Richtung, wobei die beiden Koordinaten unabhängig voneinander gewählt werden. Das heißt, es kann sein $x$ -Impuls in Bewegung $x$ -Richtung, oder es kann sich in die bewegen $y$ -Richtung, oder was auch immer. Die Strömungsgeschwindigkeit von $i$ -Schwung ( $i$ Sein $x$ , $y$ , oder $z$ ) pro Flächeneinheit in der $j$ -Richtung ist die $ij$ -Komponente des Spannungstensors $T$ : $T_{ij}$ . Und die zeitliche Änderungsrate des Impulses ist nur eine andere Art, „Kraft“ zu sagen. ¹

Die Funktionsweise dieses Tensors besteht darin, dass Sie einen Vektorbereich auswählen $\vec{A}$ . Dies ist ein Vektor mit einer Größe, die durch denselben Skalar gegeben ist, mit dem jeder vertraut ist, und auch mit einer Richtung, die durch die Richtung orthogonal zur Oberfläche gegeben ist. Die Anwendung von $T$ Zu $\vec{A}$ ergibt einen weiteren Vektor, ² , der die auf die Fläche wirkende Kraft mit Fläche ist $\vec{A}$ .

Nun tauchen Spannungstensoren an allen möglichen Stellen in der Physik auf, aber sie verhalten sich alle ähnlich. Insbesondere ihre diagonalen Komponenten sind Dinge wie die $x$ -Kraft in der $x$ -Richtung, die Ihre Intuition für Druck ist: Es drückt direkt auf Dinge, anstatt sie wie Scherkräfte zu ziehen. Tatsächlich sind die Elemente außerhalb der Diagonale die Scherkräfte pro Flächeneinheit.

In einem isotropen Medium, wie einer gut benommenen Flüssigkeit, sind die diagonalen Elemente tatsächlich alle gleich: " $x$ -Druck" ist identisch mit " $y$ -Druck." Nennen Sie diese Werte $P$ . Ohne Scherung hat der Spannungstensor eine besonders einfache Darstellung:

T = (\begin{matrix} P & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & P \end{matrix}) .

$T = \begin{pmatrix} P & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & P \end{pmatrix}.$ Dann eindeutig für jeden Bereich

\vec{A}

$\vec{A}$ wir haben

\vec{F} = T \vec{A} = P \vec{A}

$\vec{F} = T \vec{A} = P \vec{A}$ .

¹ Viele Behandlungen würden einfach die ganze Rede von Impuls weglassen, die ich gegeben habe, und alles bisher als Kräfte (pro Flächeneinheit) ausdrücken. Aber die Momentum-Sichtweise funktioniert besonders gut, um den 3-dimensionalen Stress-Tensor auf den 4-dimensionalen Stress-Energie-Tensor zu verallgemeinern, der in der Relativitätstheorie verwendet wird, und das ist mein Studiengebiet. Nur an Kräfte zu denken, anstatt an Änderungen des Impulses im Laufe der Zeit, könnte bei Statikproblemen besser funktionieren (es gibt immer noch einen Impulsfluss, aber es ist schwer zu visualisieren, da sich "nichts" bewegt).

² Wenn Sie mit Tensormanipulationen nicht vertraut sind, genügt es hier, an die Komponenten zu denken $T_{ij}$ als Matrix angeordnet, und an die Komponenten zu denken $A_j$ in einem Spaltenvektor angeordnet. Dann sagt Ihnen die Matrixmultiplikation die Komponenten des Spaltenvektors $T \vec{A}$ Sind $F_i = T_{ij} A_j$ (Summierung über wiederholte Indizes).

tc · Answer 2

Ja, die Fläche ist ein Vektor, der die Normale zur Oberfläche ist. ( $\vec{A}=A\vec{n}$ )

$\vec{F} = -P\vec{A}$

In diesem Fall ist P einfach die Proportionalitätskonstante zu den Vektoren F und A, was auch bedeutet, dass F und A in die gleiche Richtung weisen müssen (F ist die Normalkraft und keine Scherkräfte). Das negative Vorzeichen trägt der Tatsache Rechnung, dass Kraft- und Normalenvektor in die entgegengesetzte Richtung zeigen.

ehrliche_vivere · Answer 3

Druck ist nach Dimensionsanalyse nur eine Form der Energiedichte oder Impulsflussdichte. Allgemein ausgedrückt ist es als ein Tensor zweiter Ordnung definiert, der gegeben ist durch:

P_{S} = M_{S} \int D^{3} v (v - U_{S}) (v - U_{S}) F_{S} (X, v, T)

$\mathbb{P}_{s} = m_{s} \int d^{3}v \ \left( \textbf{v} - \textbf{U}_{s} \right) \left( \textbf{v} - \textbf{U}_{s} \right) \ f_{s}\left( \textbf{x}, \textbf{v}, t \right)$ Wo

f_{s} (x, v, t)

$f_{s}\left( \textbf{x}, \textbf{v}, t \right)$ ist die Teilchenverteilungsfunktion von Arten

s

$s$ die eine Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum (oder die Anzahl der Teilchen pro Raumvolumeneinheit) definiert

d^{3} x

$d^{3}x$ pro Einheit Geschwindigkeitsvolumen

d^{3} v

$d^{3}v$ , obwohl ein vorsichtigerer Ausdruck relativistischen Impuls anstelle von Geschwindigkeit verwenden würde),

m_{s}

$m_{s}$ ist die Masse der Teilchenarten

s

$s$ , Und

U_{s}

$\textbf{U}_{s}$ ist eine Durchschnittsgeschwindigkeit, definiert durch:

U_{S} = \frac{1}{N_{S}} \int D^{3} v v F_{S} (X, v, T)

$\textbf{U}_{s} = \frac{ 1 }{ n_{s} } \int d^{3}v \ \textbf{v} \ f_{s}\left( \textbf{x}, \textbf{v}, t \right)$ In der Definition des Drucktensors können wir sehen, dass es ein dyadisches Produkt desselben Vektors gibt, der verursacht

P_{s}

$\mathbb{P}_{s}$ per Definition ein symmetrischer Tensor sein. Man kann zum Beispiel leicht zeigen, dass P

_{i j}

$_{ij}$ = P

_{j i}

$_{ji}$ für

i \neq j

$i \ \neq \ j$ . Wir wissen auch, dass jede reelle symmetrische quadratische Matrix,

A

$\mathbb{A}$ , kann als Diagonalmatrix umgeschrieben werden,

D

$\mathbb{D}$ =

Q^{T} \cdot A \cdot Q

$\mathbb{Q}^{T} \cdot \mathbb{A} \cdot \mathbb{Q}$ , Wo

Q

$\mathbb{Q}$ ist eine reelle orthogonale Matrix.

Wir trennen oft die diagonalen Terme von den nicht-diagonalen Termen und nennen letzteren den Spannungstensor , $\mathbb{S}$ . Physikalisch sind die Begriffe in $\mathbb{S}$ kann folgendermaßen interpretiert werden: S $_{ij}$ = $i^{th}$ Komponente der Impulsflussdichte über die $x{\scriptstyle_{j}}$ = konstante Ebene.

Also zum Reduzieren $\mathbb{P}$ zu einem Skalar ist das zu sagen $\mathbb{S}$ $\rightarrow$ 0 und jeder der diagonalen Terme sind so entartet, dass $\mathbb{P}$ = P $\mathbb{I}$ , Wo $\mathbb{I}$ ist die Einheitsmatrix. Dies impliziert physikalisch, dass der Druck keine bevorzugte Richtung oder Ausrichtung in Bezug auf die in der Analyse verwendete Basis hat.

Wenn Sie eine wirklich gute Übersicht über Druck- und Spannungstensoren mit physikalisch signifikanten Erklärungen wünschen, sollten Sie sich den Artikel von Longuet-Higgins und Stewart aus dem Jahr 1964 ansehen . Sie haben einige sehr gute Abbildungen und Erklärungen für die Bedeutung jedes Begriffs im Drucktensor und warum Sie verschiedene Teile des Tensors entfernen/annähern können.

Referenzen
Longuet-Higgins, MS, und RW Stewart, "Strahlungsbelastungen in Wasserwellen; eine physikalische Diskussion, mit Anwendungen", Deep-Sea Research 11 , S. 529--562, 1964.

Benutzer65081 · Answer 4

Es gibt verschiedene mathematische Methoden, um Druck zu definieren (alle gleichwertig), aber die vielleicht gebräuchlichste ist die Verwendung der Komponente der Kraft senkrecht zur Oberfläche. Aus diesem Grund dividieren Sie in der von Ihnen verwendeten Definition tatsächlich Skalare. Für diese Art Druck zu definieren, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Pressure .

Sie können die Fläche auch als Vektor betrachten, in einem solchen Fall teilen Sie keine Vektoren, sondern definieren den Druck auf die bereits von tc beantwortete Weise

Kelvin Owusu Manu · Answer 5

Denn Druck=Kraft\Flächendruck ist ein Vektor. Größe, da die Fläche senkrecht zur Kraft ist, macht die Fläche zu einem Pseudovektor. Dann ist nach Regel iii Vektor\Vektor=Vektordruck eine skalare Größe

Ich bin verwirrt über die Entscheidung, zu sagen, es sei ein Vektor, überarbeite es aber später in einen Skalar. Können Sie einen erläuternden Text hinzufügen, um dies näher zu erläutern?

rspillem · Answer 6

(Fettschrift wird hier verwendet, um Vektoren darzustellen)

Sie erinnern sich an das Skalarprodukt (Punktprodukt) zweier Vektoren. Es kann zB in der Physik verwendet werden, um Arbeit als F zu definieren . s , wobei F der Kraftvektor und s die Distanz ist, über die die Kraft wirkt. Hier werden zwei Vektoren multipliziert, um einen Skalar (die Arbeit) zu erhalten. Beim Skalarprodukt wird nur die Komponente von F in Richtung s berücksichtigt.

In ähnlicher Weise wird in der Druckgleichung nur die Komponente der Kraft senkrecht zur Oberfläche benötigt. Betrachtet man also eine ebene Fläche, dargestellt durch den Vektor A , und eine Kraft F , erscheint es mir logisch, dass wir Druck als Division zweier Skalarprodukte definieren würden:

p = ( F . A ) / ( A . A )

Diese Gleichung ist für Physik auf Gymnasialniveau verständlich und zeigt die weitere Verwendung von Vektorgrößen in der Physik.

Mathematische Argumentation für Flüssigkeitsdruck als Skalar

Sean

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Benutzer10851

tc

ehrliche_vivere

Benutzer65081

Kelvin Owusu Manu

Kyle Kanos

rspillem

Definieren Sie den Druck an Punkt A. Warum ist es ein Skalar?

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