Newtons Gravitationsformeln für Ellipsen

Ein paar Mal bin ich auf Formeln gestoßen, die für kreisförmige und elliptische Bahnen identisch sind, außer dass Sie für die zweite ersetzen R mit A , Wo R ist der Radius einer Kreisbahn und A die große Halbachse einer Ellipsenbahn. Zum Beispiel:

Drittes Keplersches Gesetz für Kreisbahnen : T 2 = 4 π 2 G M R 3 ,

Drittes Keplersches Gesetz für Ellipsenbahnen : T 2 = 4 π 2 G M A 3 ,

oder

Mechanische Energie eines Satelliten auf einer Kreisbahn: E = − G M M 2 R ,

Mechanische Energie eines Satelliten auf einer elliptischen Umlaufbahn: E = − G M M 2 A .

Ein solches Ersetzen ist sehr bequem, erscheint aber auch etwas zu einfach. Ich frage mich: Wie kann man das begründen? Muss man immer alles beweisen und es passiert einfach immer wieder, dass man diese Werte vertauschen kann, oder kann man das vielleicht mit einer einzigen Behauptung rechtfertigen?

Antworten (1)

Nun, ein Kreis ist ein Spezialfall einer Ellipse, also wenn etwas auf eine allgemeine Ellipse zutrifft, wird es auch auf einen Kreis zutreffen.

Um die Regeln für Ellipsen auszuarbeiten, ist der Kalkül normalerweise etwas komplizierter als das, was Sie in Ihrer Standard-Einführungsklasse sehen, daher ist der echte, allgemeine Fall normalerweise für klassische Mechanik im zweiten Jahr reserviert, wo Sie im Grunde lösen A → = − G M X → | X → | 3 für X → im allgemeinen Fall.

Das heißt, aus einer Formel für Ellipsenbahnen kann ich immer auf die Formel für Kreisbahnen schließen. Gilt auch immer das Gegenteil? Wenn nein, könnten Sie bitte ein Beispiel nennen?
@ hm1912 alle Kreise sind Ellipsen, aber nicht alle Ellipsen sind Kreise.
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