Kurze Einführung

Der nichtlineare Term oder Versteilerungsterm,$\left( \mathbf{V} \cdot \nabla \right) \mathbf{V}$, bestimmt die Steilheitsrate einer Welle. Dies kann durch Verlustterme wie Streuung (z. B.$\propto \ \beta \ \partial_{x}^{3} v$), Diffusion , Viskosität (z. B.$\propto \ \nu \ \partial_{x}^{2} v$), Widerstand , Reibung (z. B.$\propto \ \zeta \ v$) usw. Wenn der Verlustterm gegenüber dem nichtlinearen Term dominiert, kann die Welle nicht steiler werden, da zu viel Dämpfung vorhanden ist. Wenn der Verlustterm den nichtlinearen Term ausgleicht und irreversibel ist, kann eine Stoßwelle ausgelöst werden, wenn sich die steiler werdende Welle einer Gradientenkatastrophe nähert (dh einem Punkt, an dem ein Wellenbruch auftritt).

Sie können sich dispersive Effekte so vorstellen, dass sie die räumlichen Skalen in der Welle „ausbreiten“, während der nichtlineare Begriff dazu dient, die räumlichen Skalen zu „fokussieren“. In vollständig nichtlinearen Systemen sind die Verlustterme oft vom Gradienten in der räumlichen Skala der Wellenfront abhängig. Das bedeutet, dass die Terme oft klein/vernachlässigbar sind, bis die räumlichen Skalen der Wellenfront klein und damit die Gradienten groß werden.

Auszug
- aus: Sagdeev, [1966] in Rev. Plasma Phys. Vol. 4, S. 21 (von 69):

Dissipative Effekte (Viskosität, Wärmeleitfähigkeit usw.) führen zu Irreversibilität und erhöhen die Ordnung der Ableitungen um eine ungerade Zahl (z. B. impliziert die Viskosität die Hinzufügung eines Terms, der eine zweite Ableitung in der Euler-Gleichung in der Gasdynamik enthält). Dispersionseffekte hingegen wirken sich nicht auf die Reversibilität aus und erhöhen die Ordnung der Ableitungen in den Gleichungen um eine gerade Zahl.

Interessanterweise ist die Dispersion kein irreversibler Term, da sie die Ordnung der Ableitungen in den Gleichungen um eine gerade Zahl erhöht. Die anderen Verlustterme, die ich erwähnt habe, erhöhen die Ordnung der Ableitungen in den Gleichungen um eine ungerade Zahl, wodurch Irreversibilität eingeführt wird. Daher kann die Dispersion einen einmal gebildeten Schock regulieren, aber sie kann keinen Schock auslösen.

Einen Link zu Sagdeevs Artikel finden Sie hier . Obwohl der Link leider nicht die PDF-Datei enthält.

Beispiel für dispersive Wellen

Ein Beispiel ist eine dispersive Schallwelle , die eine Dispersionsbeziehung hat, die angenähert wird durch:

$$\omega\left( k \right) \simeq k \ C_{s} - \beta \ k^{3}$$ Wo $C_{s}$ist die Phasengeschwindigkeit der Mode (hier die Schallgeschwindigkeit), $\beta$ist der dispersive Parameter (oft als klein angenommen), $k$ist die Wellenzahl, und $\omega$ist die Kreisfrequenz der Welle. Im Allgemeinen würde eine Schallwelle ohne Verluste da steiler werden $C_{s}$ist proportional zur Wellenamplitude.

In der Animation unten kann man zum Beispiel sehen, dass der ursprünglich symmetrische Soliton-Puls beginnt, steiler zu werden (dh die Skalenlänge des Gradienten nimmt asymmetrisch ab), während er sich ausbreitet. Dies liegt daran, dass sich die Spitze des Impulses schneller ausbreitet als die Teile des Impulses mit niedrigerer Amplitude. Dadurch können die Anteile der Welle mit höheren Amplituden die Anteile mit niedrigeren Amplituden überlaufen , was zu einer Art Stauung in Ausbreitungsrichtung führt. Wenn keine Verluste vorhanden wären, könnten die (schnelleren) Teile des Impulses mit höherer Amplitude die (langsameren) Teile mit niedrigerer Amplitude überlaufen, was zu einer mehrwertigen Lösung führt. Dies ist die Gradientenkatastrophe oder das Brechen von Wellen, auf die ich mich oben ausgewichen habe.

In einem kollisionsfreien Plasma kann der dispersive Term tatsächlich die Versteilerung einer Stoßfront regulieren. Dies tritt auf, weil die Stoßwelle eine nichtlinear steilere dispersive schnelle / magnetosonische Welle ist (die zufällig eine kompressive Version einer Whistler-Modus-Welle istunter den richtigen Bedingungen). Die dispersive Natur der magnetosonischen Pfeifwelle ist derart, dass sich kleinere (größere) Wellenlängen (Frequenzen) schneller ausbreiten als umgekehrt. Wenn also die Mode steiler wird, bewirkt die kleinere Gradientenskalenlänge der steileren Kante, dass die Kante mit immer kürzeren Wellenlängen koppelt. Das Endergebnis kann ein Wellenzug von magnetosonischen Pfeifwellen stromaufwärts der Schockrampe sein. Wenn diese Wellen Energie/Impuls von der Stoßfront wegtragen, wirken sie als Verlustmechanismus, der die Steilheit der Stoßrampe begrenzen kann.

Korteweg-de-Vries-Gleichung

Im Fall einer der Formen der Korteweg-de-Vries-Gleichung können wir schreiben:

$$\partial_{t} v + \left( C_{s} + v \right) \partial_{x} v + \beta \ \partial_{x}^{3} v = 0$$ Wo $\partial_{j}$= $\partial/\partial \ j$(dh ich verwende hier keine kovarianten vs. kontravarianten Formen, bin nur faul), $\partial_{x}^{3}$= $\partial_{xxx}$= $\partial^{3}/\partial \ x^{3}$oder die dritte partielle Ableitung in Bezug auf $x$, $C_{s}$die Phasengeschwindigkeit des Modus ist, und $\beta$ist eine Konstante, die die Rate des dispersiven Verlustes beeinflusst. Wenn $\lvert \beta \ \partial_{x}^{3} v \rvert > \lvert \left( C_{s} + v \right) \partial_{x} v \rvert$hier können dann die dispersiven Verluste die Versteilerung der Welle begrenzen (oder sogar verhindern).

Beachten Sie, dass die Korteweg-de-Vries-Burgers-Gleichung einen zusätzlichen Verlustterm enthält$\propto -\nu \ \partial_{x}^{2} v$, Wo$\nu$ist eine kinematische Viskosität .

Beispielanwendung

Hier ist ein Beispiel für eine nichtlineare Wellensteilerung, die ich mit Mathematica erstellt habe. Dies war die Antwort auf eine Frage, die ich hier auf der Mathematica Stack Exchange-Site gepostet habe . Der Impuls soll eine nichtlineare Magnetoschallwelle darstellen , wobei das von Shukla et al. beschriebene Verfahren verwendet wird . , [2004].

Sie können sehen, dass die anfängliche Soliton-ähnliche Lösung zu verzerren beginnt und die Skalenlänge des Gradienten auf der rechten Seite abnimmt. Da Mathematica manchmal zu "klug" für sich selbst ist (zumindest für diejenigen, die keine Mathematica-Flüsterer sind), erreicht der Code eine "steife Lösung", bevor die Welle bricht oder schockt, je nachdem, wie man die Verlustbedingungen behandelt.

Verweise

• Coroniti, FV "Dissipationsdiskontinuitäten in hydromagnetischen Stoßwellen", J. Plasma Phys. 4 , 265, doi:10.1017/S0022377800004992, (1970).
• Krasnoselskikh, VV, B. Lembège, P. Savoini und VV Lobzin "Nichtstationarität starker kollisionsloser quasisenkrechter Stöße: Theorie und numerische Vollteilchensimulationen", Phys. Plasmen 9 , 1192-1209, doi:10.1063/1.1457465, (2002).
• Shukla, PK, B. Eliasson, M. Marklund und R. Bingham "Nichtlineares Modell für magnetosonische Schocklets in Plasmen", Phys. Plasmen 11 (5), S. 2311-2313, doi:10.1063/1.1690297, (2004).
• Tidman, DA, und TG Northrop „Emission von Plasmawellen durch den Bugstoß der Erde“, J. Geophys. Auflösung 73 , 1543–1553, doi:10.1029/JA073i005p01543, (1968).