Potential einer achsensymmetrischen Scheibe mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit

Question

Potential einer achsensymmetrischen Scheibe mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit

Orca

Ich habe Probleme zu verstehen, warum die Form des 3D-Potentials für eine Scheibe mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit für kreisförmige Umlaufbahnen von Sternen innerhalb der Scheibe gilt

\begin{matrix} (1) & v (R) = v_{0}, \end{matrix}

$\begin{equation} v(R) = v_0, \tag{1} \end{equation}$

muss die Form haben

\begin{matrix} (2) & Φ (R, z) = v_{0}^{2} \ln (R + | z |), \end{matrix}

$\begin{equation} \Phi(r,z)=v_0^2 \ln{(r+|z|)},\tag{2} \end{equation}$

Wo $(r,\theta,\phi)$ sind sphärische Koordinaten und $(R,\theta,z)$ sind Zylinderkoordinaten.

Die Definition des Potenzials $\Phi$ von Green (in Bezug auf die Funktion der Punktmasse von Green) ist

\begin{matrix} (3) & Φ (X) = - G \int \frac{ρ (j)}{| X - j |} D^{3} j . \end{matrix}

$\begin{equation} \Phi(\mathbf{x}) = -G \int{\frac{\rho({\mathbf{y}})}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} \; d^3 \mathbf{y}}.\tag{3} \end{equation}$

Und ich habe schon ausgerechnet, dass die Flächendichte ist

\begin{matrix} (4) & Σ (R) = \frac{v_{0}^{2}}{2 π G} \frac{1}{R} δ (z), \end{matrix}

$\begin{equation} \Sigma(R) = \frac{v_0^2}{2\pi G} \frac{1}{R} \delta(z),\tag{4} \end{equation}$

das heißt, die Scheibe ist unendlich dünn.

Mathematisch kann ich nicht sehen, wie dies möglicherweise ein geben kann $z$ -Abhängigkeit, da die $\delta(z)$ haut es sofort raus! Ich kann jedoch physikalisch sehen , dass das Potenzial davon abhängen muss $z$ unabhängig davon $r$ , da es achsensymmetrisch sein sollte, nicht kugelsymmetrisch.

Ich wäre dankbar für einige Ratschläge zu dieser offensichtlichen Diskrepanz zwischen der Physik des Problems und seiner mathematischen Beschreibung.

Javier

Der

z

$z$ innerhalb der

δ

$\delta$ ist, wenn in Gleichung gesetzt

(3)

$(3)$ , die z-Komponente von

y

$\mathbf{y}$ . Der

z

$z$ du siehst rein

(2)

$(2)$ ist die z-Komponente von

x

$\mathbf{x}$ , das lebendig und gesund ist, da es nicht integriert wird und nicht von der Delta-Funktion betroffen ist.

Antworten (1)

Potential einer achsensymmetrischen Scheibe mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit

Der $z$ innerhalb der $\delta$ ist, wenn in Gleichung gesetzt $(3)$ , die z-Komponente von $\mathbf{y}$ . Der $z$ du siehst rein $(2)$ ist die z-Komponente von $\mathbf{x}$ , das lebendig und gesund ist, da es nicht integriert wird und nicht von der Delta-Funktion betroffen ist.

QMechaniker · Answer 1

Hinweise:

Beachten Sie, dass die Ableitung der Vorzeichenfunktion
$\begin{matrix} (A) & {S G N}^{'} (z) = 2 δ (z) \end{matrix}$ ${\rm sgn}^{\prime}(z)~=~2\delta(z) \tag{A}$ ist das Doppelte der Dirac-Delta-Verteilung . Diese Tatsache scheint im Mittelpunkt der Frage von OP zu stehen.
Wiederholte Differenzierungen des Mestelscheibenpotentials
$\begin{matrix} (B) & Φ := v_{0}^{2} \ln (R + | z |), R := \sqrt{R^{2} + z^{2}}, \end{matrix}$ $\Phi~:=~ v_0^2 \ln(r+|z|), \qquad r~:=~\sqrt{R^2+z^2}, \tag{B}$ führt zu $\begin{matrix} (C) & \frac{\partial Φ}{\partial z} = v_{0}^{2} \frac{S G N (z)}{R}, \end{matrix}$ $\frac{\partial \Phi}{\partial z}~=~v_0^2\frac{{\rm sgn}(z)}{r},\tag{C}$ $\begin{matrix} (D) & \frac{\partial^{2} Φ}{\partial z^{2}} = - v_{0}^{2} \frac{| z |}{R^{3}} + \frac{2 v_{0}^{2}}{R} δ (z), \end{matrix}$ $\frac{\partial ^2\Phi}{\partial z^2}~=~-v_0^2\frac{|z|}{r^3}+\frac{2v_0^2}{R}\delta(z),\tag{D}$ $\begin{matrix} (E) & \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial R} R \frac{\partial Φ}{\partial R} = \frac{v_{0}^{2} | z |}{R^{3}}, \end{matrix}$ $\frac{1}{R}\frac{\partial}{\partial R}R\frac{\partial\Phi}{\partial R}~=~\frac{v_0^2|z|}{r^3},\tag{E}$ $\begin{matrix} (F) & 4 π G ρ = \nabla^{2} Φ = \frac{2 v_{0}^{2}}{R} δ (z) . \end{matrix}$ $4\pi G \rho~=~\nabla^2\Phi~=~\frac{2v_0^2}{R}\delta(z).\tag{F}$ Den obigen Berechnungen kann in der Verteilungstheorie , dh mit Hilfe von Testfunktionen, eine strenge Bedeutung gegeben werden .
Für eine dünne 2D-Scheibe ist die Massendichte
$\begin{matrix} (G) & ρ = Σ δ (z), \end{matrix}$ $\rho~=~\Sigma \delta(z),\tag{G}$ so dass die Oberflächendichte ist $\begin{matrix} (H) & Σ \overset{(F) + (G)}{=} \frac{v_{0}^{2}}{2 π G R} . \end{matrix}$ $\Sigma~\stackrel{(F)+(G)}{=}~\frac{v_0^2}{2\pi G R}.\tag{H}$

Verweise:

J. Binney & S. Tremaine, Galactic Dynamics, 2. Auflage (2008); P. 99.

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Orca

Javier

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QMechaniker

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