Resonanzfrequenz des RLC-Kreises

Question

Resonanzfrequenz des RLC-Kreises

Carl

Analyse

Ich versuche, die Resonanzfrequenz für diese Schaltung zu finden

schematisch

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Aufschreiben der Knotenspannungsgleichung für $V_o$

\frac{v_{Ö} - v_{ich N}}{Z_{L}} + \frac{v_{Ö}}{Z_{C}} + \frac{v_{Ö}}{R} = 0

$\frac{V_o-V_{in}}{Z_L}+\frac{V_o}{Z_C} + \frac{V_o}{R}=0$ Und das nutzen

\frac{V_{o} - V_{i n}}{Z_{L}} = \frac{1}{L} \cdot \int (V_{o} - V_{i n}) d t

$\frac{V_o-V_{in}}{Z_L}= \frac{1}{L} \cdot \displaystyle\int (V_o-V_{in} )\: dt$ Und

\frac{V_{o}}{Z_{C}} = C \cdot \frac{d V_{o}}{d t}

$\frac{V_o}{Z_C}=C \cdot \frac{dV_o}{dt}$ bringt uns

C \cdot \frac{D v_{Ö}}{D T} + \frac{1}{L} \cdot \int (v_{Ö} - v_{ich N}) D T + \frac{v_{Ö}}{R} = 0

$C \cdot \frac{dV_o}{dt} + \frac{1}{L} \cdot \displaystyle\int (V_o-V_{in} )\: dt + \frac{V_o}{R}=0$ Teilen durch mit

C

$C$ , jeden Begriff differenzieren und bewegen

V_{i n}

$V_{in}$ auf der rechten Seite gibt mir

\frac{D^{2} v_{Ö}}{D T} + \frac{1}{R C} \frac{D v_{Ö}}{D T} + \frac{1}{L C} v_{Ö} = \frac{1}{L C} v_{ich N}

$\frac{d^2V_o}{dt}+ \frac{1}{RC} \frac{dV_o}{dt} + \frac{1}{LC}V_o = \frac{1}{LC} V_{in}$

Berechnungen

Laut „Eletric Engineering Principles and Applications by Hambley“ steht die Quadratwurzel des Begriffs davor $V_o$ heißt ungedämpfte Resonanzfrequenz $\omega_0$ .

In diesem Fall ist die Resonanzfrequenz

ω_{0} = \frac{1}{\sqrt{L C}} = \frac{1}{\sqrt{62 äh \cdot 63 nF}} = 0,5059 MHz

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{62 \text{uH} \cdot 63 \text{nF}}} = 0.5059 \: \text{MHz}$ Auch nach Hambley ist die Ersatzschaltkreisimpedanz bei der Resonanzfrequenz rein ohmsch, also

ℑ (Z_{e q}) = 0

$\Im{(Z_{eq})} = 0$ .

Die äquivalente Impedanz dieser Schaltung ist

Z_{e Q} = Z_{L} + \frac{R \cdot Z_{C}}{R + Z_{C}} = S L + \frac{R}{S C (R + \frac{1}{S C})}

$Z_{eq} = Z_L + \frac{R \cdot Z_C}{R + Z_C} = sL + \frac{R}{sC(R+ \frac{1}{sC})}$ Stecken

s = j ω_{0}

$s= j\omega_0$ und wenn ich den Komponentenwert in die obige Gleichung einsetze, erhalte ich

Z_{e Q} = 15.14 + J 11.57 Ω

$Z_{eq} = 15.14 + j11.57 \Omega$

Frage

Was deutlich zeigt, dass die Impedanz nicht rein resistiv ist. Meine Frage ist also, warum nicht? Ist meine äquivalente Impedanz falsch oder vielleicht meine Resonanzfrequenz?

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Quelle über Resonanzfrequenz

Abbildung 6.23

Winterstumm

Bin nicht auf die Details Ihrer Ableitung eingegangen. 1/SQRT(LC) ist jedoch korrekt für Serien-RLC oder Parallel-RLC. Nicht sicher, ob Sie diese Formel noch verwenden können, da Ihre Schaltung eine Kombination aus beiden R | | C in Reihe mit L ist.

Sredni Vashtar

Die Schaltung auf der Seite unterscheidet sich von der Schaltung, die Sie gepostet haben. Ich denke, das hat etwas mit den Abweichungen zu tun.

Carl

@SredniVashtar Ja, du hast wahrscheinlich Recht. Aber die Art, wie er es geschrieben hat, verwirrt mich einfach. "Die Resonanzfrequenz ist definiert als die Frequenz, bei der die Impedanz rein ohmsch ist". Ist es also nur für diese RLC-Schaltung oder für jede RLC-Schaltung definiert?

Sredni Vashtar

Das Problem, wie viele Lehrbücher Resonanz behandeln, besteht darin, dass sie normalerweise nur die beiden einfachen Situationen von Serien-RLC und Parallel-RLC berücksichtigen. Deine ist es auch nicht. Und wie Sie sehen können, sind die Frequenz, bei der die Impedanz ein Extremum hat, die Frequenz, bei der die Impedanz real ist, und die Frequenz, bei der XL = XC ist, alle unterschiedlich. In einer Serien-RLC-Schaltung (die auf der Seite) sind die letzten beiden Frequenzen gleich und die erste tendiert zu ihnen für R-> 0. In Ihrer Schaltung lässt R-> 0 Sie mit einer Induktivität allein. Otoh, R->unendlich wird alle Frequenzen konvergieren und eine ideale Serie LC hinterlassen.

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Resonanzfrequenz des RLC-Kreises

Bin nicht auf die Details Ihrer Ableitung eingegangen. 1/SQRT(LC) ist jedoch korrekt für Serien-RLC oder Parallel-RLC. Nicht sicher, ob Sie diese Formel noch verwenden können, da Ihre Schaltung eine Kombination aus beiden R | | C in Reihe mit L ist.
Die Schaltung auf der Seite unterscheidet sich von der Schaltung, die Sie gepostet haben. Ich denke, das hat etwas mit den Abweichungen zu tun.
@SredniVashtar Ja, du hast wahrscheinlich Recht. Aber die Art, wie er es geschrieben hat, verwirrt mich einfach. "Die Resonanzfrequenz ist definiert als die Frequenz, bei der die Impedanz rein ohmsch ist". Ist es also nur für diese RLC-Schaltung oder für jede RLC-Schaltung definiert?
Das Problem, wie viele Lehrbücher Resonanz behandeln, besteht darin, dass sie normalerweise nur die beiden einfachen Situationen von Serien-RLC und Parallel-RLC berücksichtigen. Deine ist es auch nicht. Und wie Sie sehen können, sind die Frequenz, bei der die Impedanz ein Extremum hat, die Frequenz, bei der die Impedanz real ist, und die Frequenz, bei der XL = XC ist, alle unterschiedlich. In einer Serien-RLC-Schaltung (die auf der Seite) sind die letzten beiden Frequenzen gleich und die erste tendiert zu ihnen für R-> 0. In Ihrer Schaltung lässt R-> 0 Sie mit einer Induktivität allein. Otoh, R->unendlich wird alle Frequenzen konvergieren und eine ideale Serie LC hinterlassen.

Andi aka · Answer 1

Ich versuche, die Resonanzfrequenz für diese Schaltung zu finden

Probieren Sie diesen Rechner aus . Ich habe viel Zeit damit verbracht, es richtig zu machen LOL: -

Die von Ihnen berechnete Eigenresonanzfrequenz ist übrigens in Radianten pro Sekunde. In Hertz sind es 80,52932 kHz.

Auch nach Hambley ist die Ersatzschaltkreisimpedanz bei der Resonanzfrequenz rein resistiv

Soweit ich das beurteilen kann, stimmt das nicht ... Wenn Sie sich diesen Impedanzanpassungsrechner auf derselben grundlegenden Website ansehen , zeigt er, bei welcher Frequenz der Eingang rein resistiv ist: -

Ich musste herumfummeln, damit die Zahlen mit dem ersten Rechner ungefähr übereinstimmen, aber das Ergebnis dessen, was er Ihnen sagt, ist, dass die Frequenz, bei der die Eingangsimpedanz rein resistiv ist, 50,63 kHz beträgt. Und bei dieser Frequenz beträgt der Eingangswiderstand 24,79 Ω.

Es gibt vollständige Ableitungen auf dieser Seite.

Wow, das ist wirklich sehr nützlich, auf das Sie verlinken. Ich werde es mit einem Lesezeichen versehen, damit ich es nicht vergesse. ja, du hast recht $f_n = \frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{0.5059 \text{MHz}}{2\pi}=80.529 \text{kHz}$ Also scheint meine Berechnung richtig zu sein. Können Sie jedoch erklären, warum die äquivalente Impedanz bei dieser Frequenz nicht rein ohmsch ist?
@Carl, das ist das bisschen, was ich herauszufinden versuche. Ich weiß, dass es nicht so ist, also gib mir ein bisschen Zeit dafür.
Okay, danke für die Klärung, Andy - das hat mir wirklich geholfen. Mir ist jetzt klar, dass ich die Informationen von Hambley missbraucht habe, ich werde das nicht noch einmal tun. Eine letzte Frage aber. Ist der allgemeine Weg, die Resonanzfrequenz zu finden, die Differentialgleichung wie in meiner Frage aufzustellen und dann den Term vor zu betrachten $V_o$ oder gibt es eine Alternative (abgesehen von dem praktischen Taschenrechner, auf den Sie verlinkt haben)?
@Carl Ich würde es direkt lösen, indem ich Laplace-Begriffe verwende und dann die Übertragungsfunktion wie auf der von mir verlinkten Website manipuliere. Ich beginne nicht mit einer Differentialgleichung.

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LC-Kreis, Resonanzfrequenz

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