Wie schließt die Laplace-Transformation das Einschwingverhalten ein?

Meine Laplace-Transformationsmathematik ist ziemlich eingerostet, aber der nette Trick hinter einer Laplace-Transformation besteht darin, dass die Testwellenform, mit der die Transformation Ihre Eingangsfunktion vergleicht, die Amplitude im Laufe der Zeit ändert.

Untersuchen Sie die Fourier-Transformation:

$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\ e^{-i \omega t}\,dx,$

Im Wesentlichen dauert es eine Test-Sinuswelle ($e^{-i \omega }$) mit Häufigkeit$\omega$und bestimmt, wie ähnlich diese Sinuswelle Ihrer Eingabefunktion 1 ist . Es bestimmt diese Ähnlichkeit oder "Kreuzkorrelation", indem es diese Sinuswelle mit Ihrer Eingabefunktion über alle Zeiten hinweg multipliziert und integriert. Wenn es wenig Ähnlichkeit zwischen dieser Frequenz gibt$\omega$und Ihrer Eingabe, dann ist diese Integration gleich Null.

Wie Sie beobachtet haben, ändert dieses Testsignal niemals die Amplitude und kann nur verwendet werden, um das stationäre Verhalten Ihres Eingangs zu untersuchen.

Vergleichen Sie nun mit der Laplace-Transformation:

$F(s) =\int_0^\infty f(t)e^{-st} \, dt$

Sehr ähnlich, außer jetzt$s$ist komplex und ersetzt das Reale (nicht komplex)$\omega$. Zudem ist die Integration nun nicht für alle Zeiten, sondern erst die Zukunft.

Das Schöne daran, zu einer komplexen Potenz zu werden$s$ist, dass es sowohl eine reale als auch eine imaginäre Komponente gibt, also wenn$s= a + i b$, Dann$e^{-st} = e^{-at}e^{-ibt}$. Jetzt haben wir also eine Sinuswelle, die je nach Wert von entweder exponentiell anwächst, exponentiell schrumpft oder eine konstante Amplitude beibehält$a$.

Durch dieses zeitlich veränderliche Testsignal und die Tatsache, dass die Integration jetzt erst zum Zeitpunkt 0 beginnt, können wir nun das Einschwingverhalten aus dem Eingangssignal extrahieren.

$a$Und$b$bestimmen zusammen einen Punkt auf der komplexen Ebene (hier als s-Ebene bekannt), wohingegen$\omega$wird immer auf der realen Linie sein. Dies ist der zusätzliche Freiheitsgrad, den @hotpaw2 erwähnt hat. Dieser Punkt definiert das von der Laplace-Transformation verwendete Testsignal, und Sie können die Auswirkungen der Bewegung des Punkts um die komplexe s-Ebene in diesem Bild sehen:

Diagramme, die die Fourier-Reihenzerlegung eines Signals darstellen, sind üblich (wie das hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series#/media/File:Fourier_series_and_transform.gif )

Weniger verbreitet sind Diagramme, die eine Laplace-Transformationszerlegung zeigen, aber ich habe dieses Beispiel gefunden, das eine RLC-Schaltung analysiert:

Auf dem Diagramm oben links sehen Sie den Induktorstrom über die Zeit mit einer großen abklingenden Transiente von 0 bis 5 Sekunden. Auf dem Diagramm unten links können Sie das Ende des anfänglichen Übergangs und das endgültige stationäre Verhalten sehen (beachten Sie die große Änderung des Diagrammmaßstabs!).

Und die entsprechende Laplace-Zerlegung:

Hier können Sie sehen, dass die Gesamtantwort im ersten Diagramm die Summe der beiden hier aufgetragenen Terme ist und dass die Auswirkung des anfänglichen Transienten mit der Zeit auf Null abfällt.

Auf dieser Seite finden Sie viele weitere Informationen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Formal_definition

1 : In Wirklichkeit$e^{-i \omega } = \cos x + i \sin x$, also wird tatsächlich gleichzeitig eine Kosinus- und eine Sinuswelle (ein rotierender komplexer Punkt) als Testfunktion verwendet. Auf diese Weise erhält die Fourier-Transformation Phaseninformationen. Aus diesem Grund zeigt das obige Bild auch geschwungene 3D-Spiralen, da die Laplace-Transformation auch einen rotierenden komplexen Punkt hat. Aber es ist einfacher, es sich einfach als einzelne Sinuswelle vorzustellen.

Bildquellen: https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Comparing_Analog_Digital_Complex.html https://www.mathworks.com/help/symbolic/solve-differential-equations-using-laplace-transform.html

Wenn Sie eine integrale Transformation vornehmen, projizieren Sie die interessierende Funktion auf ein anderes Koordinatensystem, das immer noch alle Eigenschaften der ursprünglichen Funktion beibehält. Denken Sie daran, wie Sie einen Vektor sowohl in einem rechtwinkligen als auch in einem Polarkoordinatensystem schreiben können, während Sie immer noch derselbe Vektor sind. Das ist es, was Sie mit integralen Transformationen tun, aber anstatt in den zweidimensionalen Polarraum zu gehen, projizieren Sie in einen unendlich dimensionalen Hilbert-Raum. Also, anstatt zu haben$x$,$y$usw., Sie haben unendlich viele Basis der Form$e^{j\omega}$.

Um zu verstehen, was passiert, betrachten Sie eine einfache Vektorprojektion. So erhalten Sie die Komponenten desselben Vektors in einem anderen Koordinatensystem.

Quelle

Um die Komponente des Vektors zu erhalten$\mathbf{a}$im$\mathbf{b}$Richtung nehmen Sie einfach das Skalarprodukt

mit dem Einheitsvektor$\mathbf{c}$, neben$\mathbf{b}$. Wenn der Vektor$\mathbf{c}$komplex ist, ist das Skalarprodukt mit seinem komplexen Konjugat. Somit

Wenn Sie eine Funktion projizieren, haben Sie unendlich viele Komponenten$a(t)$. Mit einer integralen Transformation, wie der Fourier-Transformation, haben Sie unendlich viele Basis$e^{j\omega}$. Jede Basis hat eine Komponente$e^{j\omega t}$. Damit ist die Summe vorbei$i$wird das Integral über$t$

Wenn Sie also eine integrale Transformation vornehmen, haben Sie dieselbe Funktion, aber in einem anderen Koordinatensystem. Da es sich um dieselbe Funktion handelt, enthält sie das Einschwingverhalten in beiden Koordinatensystemen.

Die Steady-State-Fourier-Analyse ist praktisch, wenn Sie eine einzelne unendlich lange reine Sinuskurve mit einer einzigen Frequenz haben. Sie können die Reaktion eines LTI-Systems auf diese unendlich lange Sinuskurve leicht berechnen, da sie einem einzelnen Punkt im Fourier-Bereich zugeordnet ist.

Das Problem besteht darin, dass Signale in der realen Welt eine endliche Länge (eine Hüllkurve) haben, die einem unendlichen Stapel (Integral) von Frequenzen im Fourier-Bereich zugeordnet wird. Und die Berechnung der Antwort auf eine unendliche Reihe von Frequenzen könnte eine unendliche Menge an Berechnungen erfordern, was sehr lange dauern könnte.

Die Laplace-Transformation fügt einen weiteren Freiheitsgrad hinzu, indem sie die Zeit in ihren integralen Kern einbezieht. Es kann somit eine unendliche Reihe von Frequenzen in einem einzigen komplexen (oder 2D-) Punkt darstellen und ermöglicht so die Berechnung einer Systemantwort auf diese unendlichen Reihen von unendlichen Sinuskurven mit weniger als einer unendlichen Menge an Tafel. Transiente Signale können in Chargen dieser unendlichen Chargen zerlegt werden.

Betrachten Sie es (Laplace-Transformation) also als einen mathematischen Trick, um eine unendliche Menge an Einzelfrequenz-Steady-State-Analysen (Fourier-Transformation) in endlicher Zeit (und Tafel) durchzuführen, indem Sie einen weiteren Freiheitsgrad hinzufügen.

Hinzugefügt: Beachten Sie, dass die Fourier-Transformation einer abfallenden Exponentialfunktion unendlich lang ist. Unendlich im Fourier-Raum, aber ein einzelner (komplexer) Punkt im Laplace-Raum.