Laplace-Transformationen und die imaginäre Eingabe

Wenn wir eine Exponentialfunktion auf der rechten Seite unserer Differentialgleichung erhalten (oder wenn wir eine Exponentialeingabe geben), ist es ziemlich einfach, die Gleichung zu lösen, aber wenn wir eine sinusförmige oder cosinusförmige Eingabe liefern, wird die Berechnung schrecklich. Also greifen wir zu einem Trick, geben einen imaginären, komplexen exponentiellen Input und lösen die Differentialgleichung wie gewohnt durch Annahme$A \, e^{i \omega t}$ist die Lösung. Und schließlich nehmen Sie den Realteil für einen cosinusförmigen Eingang und den Imaginärteil für einen sinusförmigen Eingang (Überlagerungssatz). Die einzige große Sache hier ist, die komplexe Amplitude zu finden$A$, sobald wir finden$A$wir können es einfach mit multiplizieren$e^{i\omega t}$Nehmen Sie wirklich teil und kommen Sie zur Lösung. Hier gibt es einen netten Trick, wenn wir die Reaktion in einer einfachen Schaltung beobachten, sagen wir eine RC-Schaltung, wir messen die Spannung über dem Kondensator. Die Spannung über der Kappe ist also sehr ähnlich wie bei einem Spannungsteiler, aber mit einer leichten Änderung, statt$R_2$es hat ein$\frac {1}{i\omega C}$

Wann immer wir also eine Schaltung mit Kapazitäten und Induktivitäten erhalten, wandeln wir sie in eine abstrakte Schaltung um, wobei wir nur die komplexen Amplituden berücksichtigen. Ermitteln Sie die erforderliche Amplitude und multiplizieren Sie sie$e^{i\omega t}$

Nun führt die Laplace-Transformation all diese netten kleinen Tricks irgendwie in einem netten kleinen Integral aus. Aber ich verstehe nicht wie, eher kann ich diese beiden Prozesse nicht in Beziehung setzen, obwohl sie gleich sind.