Impedanzberechnung aus Spannungs- und Stromwellenformen (exponentiell).

Question

Impedanzberechnung aus Spannungs- und Stromwellenformen (exponentiell).

Fourier
Physik
Impedanz
Eingangsimpedanz
Schaltungsanalyse
Laplace-Transformation

Pojj

Wenn wir die Impedanz über zwei Terminals (einen Port) bei einer Frequenz finden wollen $\omega_0$ unter Verwendung der Spannungswellenform über $v(t)$ ) und Strom durch ( $i(t)$ ) des Terminals besteht die allgemeine Intuition darin, die diskrete Fourier-Transformation sowohl für Spannungs- als auch für Stromwellenformen zu verwenden und das Verhältnis zu ermitteln

Z (ω) |_{ω = ω_{0}} = \frac{v (ω)}{ICH (ω)} |_{ω = ω_{0}} .

$Z(\omega)|_{\omega=\omega_0}=\frac{V(\omega)}{I(\omega)}|_{\omega=\omega_0}.$ Nach meinem Verständnis sollte die Antwort nicht von der Form der Wellenform abhängen, solange es eine gibt

ω_{0}

$\omega_0$ Frequenzkomponente in den Wellenformen. - Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich hier irgendetwas übersehe. Dies scheint jedoch nicht zuzutreffen, wenn die Wellenformen eine imaginäre Frequenzkomponente haben (mit der Zeit ansteigend/abklingend).

Beispiel:

Nehmen wir zum Beispiel $i(t)=I_0 \sin(\omega_0t)e^{\alpha t}$ und nehmen wir an, wir haben einen idealen Induktor $L$ um die Impedanz zu messen (tatsächlich wird eine ideale Induktivität gewählt, um meine Frage zu erklären). Jetzt haben wir,

v (T) = L \frac{D ich (T)}{D T} = L {ICH}_{0} e^{a T} (a Sünde (ω_{0} T) + ω_{0} \cos (ω_{0} T)),

$v(t)=L{di(t) \over dt}=L I_0 e^{\alpha t} \left(\alpha \sin ( \omega_0 t)+ \omega_0 \cos ( \omega_0 t)\right),$ und die Fourier-Transformationen ,

ICH (ω) = - ich \sqrt{\frac{π}{2}} {ICH}_{0} (δ (ich a - ω + ω_{0}) - δ (- ich a + ω + ω_{0}))

$I(\omega)=-i\sqrt{\frac{\pi }{2}} I_0\big( \delta (i \alpha -\omega +\omega_0)- \delta (-i \alpha +\omega +\omega_0)\big)$

v (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} {ICH}_{0} L (ich a δ (ich a - ω + ω_{0}) + ω_{0} δ (ich a - ω + ω_{0}) - ich a δ (- ich a + ω + ω_{0}) + ω_{0} δ (- ich a + ω + ω_{0}))

$V(\omega)= \sqrt{\frac{\pi }{2}} I_0 L\big(i \alpha \delta (i \alpha -\omega +\omega_0)+ \omega_0 \delta (i \alpha -\omega +\omega_0)-i \alpha \delta (-i \alpha +\omega +\omega_0)+ \omega_0 \delta (-i \alpha +\omega +\omega_0)\big)$

Offensichtlich können wir nicht finden $V(\omega)/I(\omega)$ bei $\omega =\omega_0$ aber wenn wir setzen $\omega =\omega_0+i \alpha$ , und betrachten wir die einseitige Fourier-Transformation, die wir haben

\frac{v (ω)}{ICH (ω)} |_{ω = ω_{0} + ich a} = (ich ω_{0} + a) L

$\frac{V(\omega)}{I(\omega)}|_{\omega=\omega_0+i \alpha}=(i\omega_0+ \alpha)L$

Dies entspricht tatsächlich der Impedanz einer Induktivität, wenn $\omega =\omega_0+i \alpha$ . Aber hier bin ich daran interessiert, die Impedanz bei zu finden $\omega_0$ .

Wenn wir die Laplace-Transformation verwenden , erhalten wir $V(s)/I(s)=s L$ , und dann können wir einfach sagen $s=j\omega_0$ um die Impedanz über die Klemmen zu erhalten (Induktivität im Beispiel). Meines Wissens können wir jedoch die Laplace-Transformation nicht für den diskreten Satz von Zahlen verwenden (dh Spannungs- und Stromsignale im Zeitbereich).

Selbst wenn wir die z-Transformation verwenden (die eher eine diskrete Laplace-Transformation sein soll), werden wir immer noch damit enden $V(z)/I(z)=(i\omega_0+ \alpha)L$

Meine Fragen

Welche physikalische Bedeutung hat der Realteil? $(\alpha L)$ in diesem Beispiel bei der Fourier-Transformation beobachtet?
Wie können wir die äquivalente Impedanz über einen Port mithilfe von Spannungs- und Stromwellenformen erhalten, wenn die Wellenformen exponentiell anwachsen (oder abfallen)?

laute Geräusche

Sie können die Laplace-Transformation nicht verwenden, um eine Zeitbereichsantwort zu berechnen, was eine Diskretisierung erfordert. Sie können die Laplace-Transformationsdarstellung absolut verwenden, um die Impedanz bei einer bestimmten Frequenz zu finden.

Unbekannt123

Kann verwandt sein

Pojj

Danke, @loudnoises, das ist genau meine Frage. Was ich habe, sind Spannungs- und Stromsignale, daher kann ich die Laplace-Transformation nicht direkt verwenden. Ich versuche, eine Kurvenanpassung zu verwenden, um eine gute Anpassungsfunktion zu finden, und dann die Laplace-Transformation zu verwenden, wird aber nicht sehr genau sein. Die Frage hier ist, wie man die äquivalente Impedanz direkt aus der Wellenform findet.

laute Geräusche

Gibt es einen bestimmten Grund, warum Sie exponentielle Wellenformen verwenden? Vielleicht sollten Sie untersuchen, wie ein LCR-Messgerät funktioniert.

Pojj

Ja, ich interessiere mich für exponentielle Signale, da ich eine Schaltung mit einer aktiven Energiepumpe studiere, und insbesondere daran interessiert bin, die Physik hinter dem Ergebnis zu verstehen, das ich mit der Fourier-Transformation erhalte. LCR-Messgeräte sollten sich wiederholende Standardsignale verwenden, bei denen die Fourier-Transformation gut funktioniert.

Herr Snrub

Da Sie nur an einer einzigen Frequenz interessiert sind, ist dies eine ideale Anwendung für den Goertzel-Algorithmus . Aber für Ihre Zwecke ist der Goertzel nicht besser oder schlechter als die DFT, es ist nur eine recheneffizientere Methode, um die gleiche Antwort wie die DFT zu erhalten. Ich würde sagen, Ihre "echte" Frage ist, was die eigentliche Bedeutung von ist

Z (ω) |_{ω = ω_{0}}

$Z(\omega)|_{\omega=\omega_0}$ , zumal Ihre Stimulus-Wellenform eine deutlich komplexere Frequenzstruktur hat.

Pojj

Danke für den Kommentar @Mr.Snrub, ja, in gewisser Weise möchte ich auch sehen, wie man die Impedanz mit wachsenden / abfallenden Wellenformen berechnet (oder weiß, ob es überhaupt möglich ist).

Antworten (1)

Impedanzberechnung aus Spannungs- und Stromwellenformen (exponentiell).

Sie können die Laplace-Transformation nicht verwenden, um eine Zeitbereichsantwort zu berechnen, was eine Diskretisierung erfordert. Sie können die Laplace-Transformationsdarstellung absolut verwenden, um die Impedanz bei einer bestimmten Frequenz zu finden.
Danke, @loudnoises, das ist genau meine Frage. Was ich habe, sind Spannungs- und Stromsignale, daher kann ich die Laplace-Transformation nicht direkt verwenden. Ich versuche, eine Kurvenanpassung zu verwenden, um eine gute Anpassungsfunktion zu finden, und dann die Laplace-Transformation zu verwenden, wird aber nicht sehr genau sein. Die Frage hier ist, wie man die äquivalente Impedanz direkt aus der Wellenform findet.
Gibt es einen bestimmten Grund, warum Sie exponentielle Wellenformen verwenden? Vielleicht sollten Sie untersuchen, wie ein LCR-Messgerät funktioniert.
Ja, ich interessiere mich für exponentielle Signale, da ich eine Schaltung mit einer aktiven Energiepumpe studiere, und insbesondere daran interessiert bin, die Physik hinter dem Ergebnis zu verstehen, das ich mit der Fourier-Transformation erhalte. LCR-Messgeräte sollten sich wiederholende Standardsignale verwenden, bei denen die Fourier-Transformation gut funktioniert.
Da Sie nur an einer einzigen Frequenz interessiert sind, ist dies eine ideale Anwendung für den Goertzel-Algorithmus . Aber für Ihre Zwecke ist der Goertzel nicht besser oder schlechter als die DFT, es ist nur eine recheneffizientere Methode, um die gleiche Antwort wie die DFT zu erhalten. Ich würde sagen, Ihre "echte" Frage ist, was die eigentliche Bedeutung von ist $Z(\omega)|_{\omega=\omega_0}$ , zumal Ihre Stimulus-Wellenform eine deutlich komplexere Frequenzstruktur hat.
Danke für den Kommentar @Mr.Snrub, ja, in gewisser Weise möchte ich auch sehen, wie man die Impedanz mit wachsenden / abfallenden Wellenformen berechnet (oder weiß, ob es überhaupt möglich ist).

Dirceu Rodrigues jr · Answer 1

Meine Lösung entspricht dem erwarteten Ergebnis:

Aus FOURIER-TRANSFORMATIONEN:

F {e^{- A T} Sünde (ω_{0} T) u (T)} = \frac{ω_{0}}{(A + J ω)^{2} + ω_{0}^{2}}

$\mathcal{F} \{ e^{-at}\sin(\omega_0t)u(t)\} = \frac{\omega_0}{(a+j\omega)^2+\omega_0^2}$

F {e^{- A T} \cos (ω_{0} T) u (T)} = \frac{A + J ω}{(A + J ω)^{2} + ω_{0}^{2}}

$\mathcal{F} \{ e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)\} = \frac{a+j\omega}{(a+j\omega)^2+\omega_0^2}$

und der Induktorstrom als:

ich (T) = {ICH}_{0} e^{a T} Sünde (ω_{0} T) u (T)

$i(t) = I_0e^{\alpha t}\sin(\omega_0t)u(t)$

Im Frequenzbereich:

ICH (ω) = \frac{{ICH}_{Ö} ω_{0}}{(- a + J ω)^{2} + ω_{0}^{2}}

$\boxed{I(\omega)= \frac{I_o\omega_0}{(-\alpha+j\omega)^2+\omega_0^2}}$

Dann ist die Spulenspannung:

v (T) = L \frac{D ich (T)}{D T}

$v(t) = L\frac{\mathrm{d}i(t) }{\mathrm{d}t }$

oder

v (T) = L {ICH}_{0} [a e^{a T} Sünde (ω_{0} T) + ω_{0} e^{a T} \cos (ω_{0} T)] u (T)

$v(t)=LI_0 \left[\alpha e^{\alpha t}\sin(\omega_0t)+ \omega_0e^{\alpha t} \cos(\omega_0t) \right ]u(t)$

Ähnlich im Frequenzbereich:

v (ω) = L {ICH}_{0} [\frac{a ω_{0}}{(- a + J ω)^{2} + ω_{0}^{2}} + \frac{ω_{0} (- a + J ω)}{(- a + J ω)^{2} + ω_{0}^{2}}]

$V(\omega)=LI_0 \left [ \frac{\alpha\omega_0}{(-\alpha+j\omega)^2+\omega_0^2} + \frac{\omega_0(-\alpha+j\omega)}{(-\alpha+j\omega)^2+\omega_0^2} \right ]$

oder

v (ω) = L {ICH}_{0} ω_{0} [\frac{J ω}{(- a + J ω)^{2} + ω_{0}^{2}}]

$\boxed{V(\omega)=LI_0\omega_0 \left [ \frac{j\omega}{(-\alpha+j\omega)^2+\omega_0^2} \right ] }$

Die Impedanz ist:

Z (ω) = \frac{v (w)}{ICH (ω)}

$Z(\omega)=\frac{V(w)}{I(\omega)}$

oder

Z (ω) = J ω L

$\boxed{Z(\omega)= j\omega L}$

Aus LAPLACE TRANSFORMS kann das gleiche Ergebnis erzielt werden:

ICH (S) = \frac{{ICH}_{0} ω_{0}}{(- a + S)^{2} + ω_{0}^{2}}

$I(s) = \frac{I_0 \omega_0}{(-\alpha + s)^2+ \omega_0^2}$

Und

v (S) = L {ICH}_{0} ω_{0} \frac{S}{(- a + S)^{2} + ω_{0}^{2}}

$V(s)= LI_0\omega_0 \frac{s}{(-\alpha + s)^2+ \omega_0^2}$

Die Impedanz ist:

Z (S) = \frac{v (S)}{ICH (S)} = S L

$Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)} = sL$

tun $s = j\omega$

Z (J ω) = J ω L

$Z(j\omega)= j\omega L$

BEARBEITEN:

Das Hauptziel meiner Antwort war es, auf einen Fehler bei der Berechnung einer bestimmten fraglichen Fourier-Transformation hinzuweisen. Obwohl das OP nicht ausdrücklich klarstellt, dass die INDUKTANZ UNBEKANNT IST , scheint mir die Bestimmung der INDUKTANZ wichtiger zu sein als die IMPEDANZ der Induktivität aus den zeitlichen Messungen.

Beachten Sie, dass das OP in diesem Fall mit einem linearen Systemidentifikationsverfahren konfrontiert wird (da es sich in der Praxis aufgrund des DCR des Induktors um eine Reihen-RL-Schaltung handelt). Es gibt viele Techniken, die bereits von LCR-Messgeräten verwendet werden. Auf der anderen Seite scheint die Absicht des OP darin zu bestehen, innovative Arbeit mit wachsenden Exponentialen zu leisten. Ein Problem, das mir klar ist, wäre in der Frage schwierig, einen exponentiell wachsenden Sinusstrom zu erzeugen. Vielleicht könnte eine SPANNUNG mit einer ähnlichen Form an den RL-Kreis angelegt werden. Die Messung der Zeit legt eine einfachere Form der Kurvenanpassung (erwartet gegenüber gemessen) nahe, um die Parameter L und R zu bestimmen.

Außerdem ist der Ausdruck für $V(\omega)$ könnte auch direkt von erhalten werden $I(\omega )$ durch die Differenzierungseigenschaft der Fourier-Transformation: $\frac{df(t)}{dt} \Rightarrow j\omega F(\omega )$ .
... was dann mathematisch demonstrieren würde, dass die Eingangswellenform keine Rolle spielt, weil $Z( \omega ) = {V( \omega ) \over I ( \omega ) } = { L \cdot j \omega I(\omega) \over I(\omega)} = j \omega L$ . Sehr cool!
Ich stimme zu, da die Impedanz im weiteren Sinne ist $Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)}$ und die Laplace-Transformation akzeptiert Signale, die nicht "absolut integrierbar" sind (nicht zeitlich abklingend - beispielsweise als Schritt und Rampe). Andererseits ist diese "Dirichlet-Bedingung" für die Fourier-Transformation erforderlich (exponentiell abfallend ist in Ordnung).
Zum Beispiel: Wenn $i(t)=I_ou(t)$ (Stufenstrom in einer Induktivität), dann $I(s) = \frac{I_0}{s}$ . So, $v(t) = L\frac{\mathrm{d}i(t) }{\mathrm{d} t}=LI_0\delta (t)$ (ein Spannungsimpuls) und $V(s)=LI_0$ . Endlich, $Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)}=sL$ . Probieren Sie es mit einem neuen Beispiel aus $i(t)=I_0t u(t)$ (eine Stromrampe)... oder alternativ könnte hier auch das Grundstück genutzt werden $\frac{\mathrm{d}f(t) }{\mathrm{d} t} \Rightarrow sF(s)$ .
Interessant, hier habe ich es versäumt, eine einseitige Eingabefunktion zu übernehmen $u(t)$ (Ich habe Mathematica direkt verwendet, um die Fourier-Transformation zu finden) - Ich glaube, dort habe ich es verpasst. Übrigens, können wir die Fourier-Transformation immer noch anwenden, wenn die Wellenform wächst (dh $a<0$ in deiner Antwort)
Wie gesagt, für die Fourier-Transformation $F(\omega)$ existieren, $f(t)$ absolut integrierbar sein (Dirichlet-Bedingung). Dies ist nur für erfüllt $a>0$ (oder $\alpha < 0$ ). Bei Antwort habe ich ein Minuszeichen vorangestellt $\alpha$ um mit den in Ihrer Frage verwendeten Symbolen übereinzustimmen.
Danke, verstanden! Dann ist meine ursprüngliche Frage zur Impedanz noch offen. dh (Wie) können wir die (wahre) Impedanz berechnen, indem wir das exponentielle Wachstum analysieren ( $\alpha >0$ ) Spannungs- und Stromwellenformen?
Ich glaube, ich habe deine Frage beantwortet. Betrachten Sie für wachsende Signale den zweiten Teil meiner Antwort (Laplace-Transformation) oben. In diesem Fall $\alpha$ positiv sein kann. Wie dort gezeigt wurde, am Ende tun $s = j\omega$ .
@DirceuRodriguesJr, Irgendwie habe ich deine endgültige Bearbeitung verpasst. Ja, ich habe die Kurvenanpassung verwendet, um das m-Problem zu lösen. Nur zur Verdeutlichung, ich habe eine Induktivität verwendet, um das Problem zu erklären, das ich hatte, war eine Kombination aus einem LC-Netzwerk. Deshalb interessierte ich mich für die Impedanz.

Impedanzberechnung aus Spannungs- und Stromwellenformen (exponentiell).

Pojj

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Herr Snrub

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Dirceu Rodrigues jr

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