Verwenden der Fourier-Transformation zum Lösen des Stroms in einer Schaltung mit Anfangsbedingung

Question

Verwenden der Fourier-Transformation zum Lösen des Stroms in einer Schaltung mit Anfangsbedingung

Emnha

Ich versuche, den Induktorstrom für die folgende Schaltung zu lösen, indem ich die Fourier-Transformation anstelle von Laplace verwende. Der Zweck ist zu sehen, ob die Fourier-Transformation auch für Probleme mit solchen Anfangsbedingungen funktioniert. Die Spannungsquelle ist eine Gleichspannungsquelle.

Von KVL: $\ -1 + L\frac{\mathrm{di} }{\mathrm{d} x} + R i = 0$

Fourier-Transformation der obigen Gleichung:

$\ -2\pi \delta (\omega ) + j\omega L *I(\omega ) + R*I(\omega ) = 0$

Allerdings sehe ich nirgends, dass hier die Bedingung i(0) verwendet wird. Wie kann ich die Anfangsbedingung einbeziehen und nach dem Strom auflösen?

PS. Die Schaltung stammt von dieser Seite.

Chu

Ist die Spannungsquelle ein Einheitsschritt? Wenn ja, ist die Fourier-Transformation falsch. Auch die KVL-Gleichung hat ein falsches Vorzeichen.

Emnha

@Chu: Spannungsquelle ist eine Gleichstromquelle, ja, das Zeichen ist ein Fehler, den ich jetzt korrigieren werde.

Tony Stewart EE75

Das Fourier-Spektrum des Stroms sollte in der Spannung im Widerstand liegen

\frac{V_{i n}}{R} - I (0) = Δ I

$\dfrac{V_{in}}{R}-I(0)=\Delta I$ mit einer exponentiellen Dämpfung des kontinuierlichen Spektrums, gleich wie ein LPF ab

Δ V = Δ I * R

$\Delta V=\Delta I*R$ mit einem Breakpoint @ ω=L/R dann Dämpfung 20dB/Dekade. Beginnen Sie mit der exponentiellen Zeitgleichung.

Antworten (1)

Verwenden der Fourier-Transformation zum Lösen des Stroms in einer Schaltung mit Anfangsbedingung

Ist die Spannungsquelle ein Einheitsschritt? Wenn ja, ist die Fourier-Transformation falsch. Auch die KVL-Gleichung hat ein falsches Vorzeichen.
@Chu: Spannungsquelle ist eine Gleichstromquelle, ja, das Zeichen ist ein Fehler, den ich jetzt korrigieren werde.
Das Fourier-Spektrum des Stroms sollte in der Spannung im Widerstand liegen $\dfrac{V_{in}}{R}-I(0)=\Delta I$ mit einer exponentiellen Dämpfung des kontinuierlichen Spektrums, gleich wie ein LPF ab $\Delta V=\Delta I*R$ mit einem Breakpoint @ ω=L/R dann Dämpfung 20dB/Dekade. Beginnen Sie mit der exponentiellen Zeitgleichung.

Robert Bristol-Johnson · Answer 1

Zunächst einmal entspringen die Laplace-Transformation und die Fourier-Transformation demselben Gewässer. Sie sind irgendwie dasselbe, und wenn Sie gemeinsame Bedingungen haben, die beide verwenden, sind sie dasselbe $s=j\omega$ . Die einseitige Laplace-Transformation ist besser für Schaltungsprobleme, die nur für definiert sind $t \ge 0$ und Anfangsbedingungen haben, weil es einen bequemen Mechanismus gibt, um mit diesen Anfangsbedingungen umzugehen $t=0$ mit der einseitigen Laplace-Transformation.

Die bilaterale Laplace-Transformation ähnelt am ehesten der Fourier-Transformation (die immer eine bilaterale Definition hat) mit der Substitution von $s=j\omega=j2\pi f$ .

Das obige Problem kann jedoch nur mit der Fourier-Transformation behandelt werden, wenn die Schaltung vollständig "entspannt" ist (alle Anfangsbedingungen gleich Null sind). $t=0$ , wird so modelliert, dass es von einem Einheitsschritt von 1 Volt angetrieben wird, anstatt von einer konstanten Eingabe von 1 Volt. Wenn die obige Schaltung die ganze Zeit an 1 Volt angeschlossen war, gibt es keine Möglichkeit, dass der Anfangsstrom, $i(0)$ kann alles andere sein als $i(0) = \frac{1 \text{V}}{R}$ . Wenn $i(0)$ etwas anderem entspricht, müssen Sie die Eingabe als Sprungfunktion darstellen.

Dann ist das andere Problem mit der Fourier-Transformation, das der Laplace nicht wirklich hat, dass die Fourier-Transformation für den Einheitsschritt nicht gut konvergiert. Durch eine indirekte Methode kann die FT eines Einheitsschritts abgeleitet werden, aber es ist natürlich mit dem Laplace. Mit der FT müssten Sie also den Einheitsschritt als Grenzfall einer Funktion darstellen, die eine legitime FT hat :

u (T) = lim_{τ \to + \infty} {\begin{cases} e^{- T / τ} & Wenn T \geq 0 \\ 0 & Wenn T < 0 \end{cases}

$u(t) = \lim_{\tau \to +\infty} \begin{cases} e^{-t/\tau} \qquad & \text{ if } t \ge 0 \\ 0 & \text{ if } t < 0 \\ \end{cases}$

für endlich $\tau$ , das eine legitime FT hat und Sie können dieses System mit der FT für eine Endlichkeit lösen $\tau$ , eine Antwort bekommen, und dann lassen $\tau$ gehe zu $\infty$ .

Ich hatte überlegt hinzuzufügen, dass Laplace Arbeit mit bekannten Anfangsbedingungen viel einfacher umwandelt. Aber das hast du gesagt, und wahrscheinlich besser als ich es getan hätte. Gutes Zeug. +1.
Danke. Dazu habe ich zwei Fragen. 1. Sie sagten, wenn Sie gemeinsame Bedingungen haben, verwenden Sie eine von beiden. Was ist hier mit gemeinsamen Bedingungen gemeint? Ist es Konvergenzbedingung? 2. Das obige Problem kann jedoch nur mit der Fourier-Transformation behandelt werden, wenn die Schaltung, die bei t = 0 vollständig "entspannt" ist (wobei alle Anfangsbedingungen gleich Null sind), als durch einen Einheitsschritt von angetrieben modelliert wird 1 Volt, anstatt einer konstanten Eingabe von 1 Volt. Was ist der Grund, warum Fourier nur mit allen Anfangsbedingungen gleich Null funktioniert?
1. ein einfaches beispiel: $X (T) = {\begin{cases} e^{- T / τ} & Wenn T \geq 0 \\ 0 & Wenn T < 0 \end{cases}$ $x(t) = \begin{cases} e^{-t/\tau} \qquad & \text{ if } t \ge 0 \\ 0 & \text{ if } t < 0 \\ \end{cases}$ hat, mit $s = \sigma + j \omega$ die gleiche einseitige Laplace-Transformation und zweiseitige Laplace-Transformation und die gleiche Fourier-Transformation mit $\sigma=0$ . Es ist klar, dass die Definitionen der drei genau gleich sind, wenn a) das Argument $x(t)=0$ für alle $t<0$ und ob die Integrale in allen drei Fällen konvergieren. (für den Einheitsschritt wo $x(t) = u(t)$ , konvergiert das Fourier-Integral nicht ohne etwas albernes Handwinken.)
2. Die zweiseitige Laplace-Transformation kann mit zwei Integralen ausgedrückt werden: $X (S) = lim_{ϵ \to 0} \int_{- \infty}^{- ϵ} X (T) e^{- S T} D T + \int_{- ϵ}^{\infty} X (T) e^{- S T} D T$ $X(s) = \lim_{\epsilon \to 0} \int\limits_{-\infty}^{-\epsilon} x(t) \, e^{-st} \, dt + \int\limits_{-\epsilon}^{\infty} x(t) \, e^{-st} \, dt$ als $\epsilon>0$ nähert sich Null, das Integral rechts ist einfach die einseitige Laplace-Transformation und das Integral links umfasst die gesamte Aktivität von $x(t)$ für $t<0$ . Es ist der linke Term, der die Anfangsbedingungen festlegt, und wenn dieser Term durch äquivalente Werte ersetzt werden kann, enthält das einseitige Laplace Anfangsbedingungen.
und die Anfangsbedingungen müssen nicht Null sein, um die FT zu verwenden, aber Sie müssen Anfangsbedingungen ungleich Null korrekt berücksichtigen.
Nehmen wir an, die Spannungsquelle in der obigen einfachen Schaltung ist eine Einheitsschrittfunktion und die Anfangsbedingung für Strom ist $i(0)$ . Durch KVL: -u(t) + L*di/dt + Ri = 0 und führen Sie dann die Fourier-Transformation dieser Gleichung durch. (u (t) ist eine Einheitsschrittfunktion.) Ich sehe jedoch nicht, wie ich hier die Anfangsbedingung berücksichtigen soll. Wie kann die Anfangsbedingung durch Verwendung der Fourier-Transformation eingeschlossen werden, um diese Differentialgleichung in diesem speziellen Fall zu lösen?
um für den Anfangsstrom zu sein $i(0) \ne 0$ , dann die angelegte Spannung von vor langer Zeit bis $t=0$ müsste die Konstante sein $i(0)R$ . dann wenn sich die eingangsspannung plötzlich ab ändert $i(0)R$ Zu $1 \text{ V}$ zum Zeitpunkt $t=0$ , dann ist die Eingangsspannung $v (T) = ich (0) R + (1 v - ich (0) R) u (T)$ $v(t) = i(0)R + (1\text{V} - i(0)R) u(t)$ Wo $u(t)$ ist die Einheitsschrittfunktion. Da es sich jedoch um Fourier und nicht um Laplace handelt, müssen Sie Ihren Einheitsschritt als Grenze darstellen, wie ich oben in der Antwort gezeigt habe.

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