Verstehen, warum Laplace-Transformationen für Schaltungen verwendet werden

Das ist die Intuition dahinter$s$ist eine "komplexe Frequenz".$s$wird nicht geändert$j\omega$. Eher,$s$ist eine komplexe Zahl, die in ihre Real- und Imaginärteile zerlegt werden kann, die man Sigma und Omega nennt:$s = \sigma + j\omega$. Immer und überall$s$Sie können ersetzen$\sigma + j\omega$!

Was passiert, wenn$s$wird anscheinend ersetzt durch$j\omega$ist, dass wir nur einen bestimmten Teil des Bereichs von berücksichtigen$s$: die (positive) imaginäre Achse. Wir ändern uns nicht$s$, aber nur den Realteil fallen lassen$\sigma$(oder vielmehr auf Null setzen) und die Komponente beibehalten$j\omega$.

Dies liegt daran, dass die positive imaginäre Achse im komplexen Frequenzraum liegt$s$dort liegen gewöhnliche Frequenzen.

Also zum Beispiel, wenn wir eine Übertragungsfunktion in Bezug auf haben$s$, dann betrachten wir den Schnitt dieser Funktion entlang der imaginären Achse, der erzeugt wird durch$j\omega$für verschiedene Parameterwerte$\omega$, dann betrachten wir den Frequenzbereich dieser Übertragungsfunktion: die Fourier-Transformation!

Die Laplace-Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation. Die Fourier-Transformation endet eingebettet in der Laplace-Domäne entlang der imaginären Achse. Es hat einen komplexen Wert, aber seine Domäne ist eindimensional. Die Fourier-Transformation behandelt zeitinvariante Funktionen (periodisch), aber Laplace verallgemeinert auf Funktionen, die exponentielles Wachstum oder Verfall beinhalten. Fourier befasst sich mit Signalen der Form$e^{jwt}$, wohingegen Laplace sich damit befasst$e^{st}$, Wo$s = \sigma + j\omega$. Dies umfasst exponentielle Zuwächse/Abfälle sowie anwachsende oder abklingende Schwingungen, die nicht periodisch sind.

Als wir uns gesetzt haben$\sigma$auf null halten$j\omega$, machen wir einen Ausflug in die Fourier-Transformation, weil wir beispielsweise daran interessiert sind, wie eine Übertragungsfunktion zeitinvariante Signale behandelt, die in dieser Transformation schön dargestellt werden; dh was ist der Frequenz-/Phasengang.

Hier sind einige Vorlesungsnotizen zur qualitativen Interpretation von Laplace-Transformationen.

Für den Bereich der Schaltungsanalyse ermöglicht uns die Verwendung von Laplace-Transformationen, die Differentialgleichungen, die diese Schaltungen darstellen, durch die Anwendung einfacher Regeln und algebraischer Prozesse anstelle komplexerer mathematischer Techniken zu lösen. Es gibt auch Einblick in das Schaltungsverhalten.

Es sind viele verschiedene Transformationen möglich, und die Domänenanalyse ist nützlich und möglicherweise leichter zu lehren als andere Techniken, oft bevor die vollständige Verwendung der komplexen Analyse angenommen wird. Es macht es nicht weniger leistungsfähig oder nützlich, nur gut geeignet für das vorliegende Problem. Oft werden Laplace-Transformationen gelehrt, noch bevor Differentialgleichungen vollständig berücksichtigt werden, sodass es sich um einen komplementären Ansatz handelt.