Übertragungsfunktion: Versuch, die Laplace-Analyse dieser Schaltung zu verstehen

Darf ich vorschlagen, dass Sie damit beginnen, die 2 Widerstände zu einem Widerstand zu vereinfachen. Ich schlage dies vor, weil es die Mathematik viel einfacher macht und ich denke, dass Sie einen Fehler in Ihrer endgültigen Formel haben. Die Spannungsquelle reduziert sich also von 10 Volt auf 9,09 Volt in Reihe mit einem Widerstand von 90,90 Ohm aufgrund von Standardschaltungstheoremen.

Dies hat dann eine Standardformel: -

Und$\zeta= \dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$

Der Wert für R ist der neu berechnete Wert von 90,9 Ohm. Um etwas mehr Hilfe anzubieten,$\omega_n$ist die natürliche Resonanzfrequenz des Filters und$\zeta$wird als Dämpfungsverhältnis bezeichnet (auch gleich dem Kehrwert von 2Q).

Wenn Sie nun sehen möchten, wie das aussieht, können Sie diesen Online-Rechner verwenden und die Werte einfügen: -

Resonanz tritt bei etwa 503 Hz auf und es gibt eine Spitze in der Antwort von etwa 11 dB. Schaltung Q ist etwa 3,5.

Aber vergessen Sie nicht, dass es eine Gesamtdämpfung gibt (da ich die beiden Widerstände einfach zu einem Widerstand zusammengefasst habe), sodass die Formeln mit 0,909 multipliziert werden.

Ich habe Ihre Gleichungen nicht verwendet, weil ich sehe, dass die endgültige Formel, die Sie abgeleitet haben, einen Fehler enthält.

Der einfachste Weg, diese Übertragungsfunktion zu bestimmen, ist die Verwendung der schnellen analytischen Schaltungstechniken oder FACTs . Bei diesen Techniken betrachten Sie die Schaltung unter verschiedenen Bedingungen, um ihre Zeitkonstanten zu bestimmen. Dies führt Sie zu einem sogenannten Low-Entropie- Format, in dem Sie Verstärkung, Pole und Nullen sehen sollten, falls vorhanden.

Mit Ihrer Schaltung haben Sie zwei energiespeichernde Elemente: einen Kondensator$C_1$und eine Induktivität$L_2$. Da sie unabhängige Zustandsgrößen haben, handelt es sich um eine Schaltung 2. Ordnung. Als solcher der Nenner$D(s)$muss dem folgenden Ausdruck gehorchen:$D(s)=1+b_1s+b_2s^2$. Ausgehend von diesem Ausdruck können Sie ihn überarbeiten und in die kanonische Form bringen$D(s)=1+\frac{s}{\omega_0Q}+(\frac{s}{\omega_0})^2$.

Wir beginnen mit$s=0$. Zeichnen Sie Ihre Schaltung neu, in der die Induktivität durch einen Kurzschluss ersetzt wird (seine Impedanz beträgt$sL_2$was auf 0 reduziert wird), während der Kondensator im Leerlauf ist (seine Impedanz beträgt$\frac{1}{sC_1}$und ist bei dc unendlich). Die Schaltung sieht so aus:

Bei Gleichstrom die Verstärkung$H_0$ist ein einfacher Widerstandsteiler:$H_0=\frac{R_2}{R_1+R_2}$. Reduzieren Sie nun die Speisequelle auf 0 V: ersetzen$V_{in}$B. durch einen Kurzschluss, und „schauen“ Sie durch die Anschlussklemmen$L_2$Und$C_1$während das zweite Element in seinen Gleichstromzustand versetzt wird (offene Kappe und kurzgeschlossener Induktor). Im ersten Fall, z$\tau_1$du "siehst"$R_1||R_2$was eine Zeitkonstante gleich impliziert$\tau_1=C_1(R_1||R_2)$. Machen Sie dasselbe für$\tau_2$einbeziehen$L_2$und Sie sehen einen unendlichen Widerstand, der zu einer Zeitkonstante von 0 s führt. Stellen Sie nun den Kondensator in seinen hochfrequenten Zustand (Kurzschluss) und "sehen" Sie den Widerstand, den er bietet$L_2$'s Terminals in diesem Modus:$\tau_{12}=\frac{L_2}{R_1||R_2}$. Sie können jetzt rechnen$D(s)=1+s(\tau_1+\tau_2)+s^2\tau_1\tau_{12}$und schreiben Sie es in die unten angegebene kanonische Form um:

Jetzt können Sie denselben Ausdruck mit dem klassischen Brute-Force-Ansatz mit einem Thévenin-äquivalenten Modell bestimmen. Hier ist nichts falsch, aber a) es ist wahrscheinlich eine komplizierte Übung, b) Sie können Fehler machen - ich würde : ) und c) Sie müssen mehr Energie aufwenden, um die kanonische Form zu erhalten, die ich gegeben habe. Bei dieser Form haben Sie die Resonanzfrequenz \f_0\$ auf 503,3 Hz eingestellt, eine DC-Verstärkung von -0,83 dB und eine Spitze von 10,8 dB. Dies bestätigt die folgende Aufnahme:

Die FACTs haben Sie direkt zu der kompakten Form geführt, die Sie benötigen, ohne eine einzige Zeile Algebra zu schreiben, indem Sie einfach einfache Skizzen durchgehen, die Sie überprüfen. Wenn Sie einen Fehler gemacht haben, korrigieren Sie einfach die schuldige Zeichnung und aktualisieren Sie die Zeitkonstante. Wenn Sie Übertragungsfunktionen lösen, egal ob Sie passive oder aktive Quellen haben, sind die FACTs unschlagbar!