Algebraischer Weg zum Finden einer Übertragungsfunktion eines Filters

Ihre erste Knotengleichung sollte lauten:

$$\frac{\text{V}_\text{1}-\text{V}_{in}}{\text{R}_1}+\frac{\text{V}_1}{\frac{1}{\text{s}\text{C}_1}}+\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_2}=0\tag1$$ Rest sind richtig: $$\frac{\text{V}_2-\text{V}_1}{\text{R}_2}+\frac{\text{V}_2-\text{V}_\text{out}}{\frac{1}{\text{s}\text{C}_3}}+\frac{\text{V}_2-\text{V}_3}{\text{R}_3}=0\tag2$$ $$\frac{\text{V}_3-\text{V}_2}{\text{R}_3}+\frac{\text{V}_3}{\frac{1}{\text{s}\text{C}_2}}=0\tag3$$ $$V_3 = V_{out}\tag4$$ Wir können (3) mit (4) vereinfachen $$\frac{\text{V}_{out}-\text{V}_2}{\text{R}_3}+\frac{\text{V}_{out}}{\frac{1}{\text{s}\text{C}_2}}=0$$ $$\implies V_2 = V_{out}(1+\frac {R_3}{1/sC_2})\tag5$$ Sie können (5) verwenden, um zu eliminieren $V_2$von (1) und (2), um in zwei Gleichungen mit 3 unabhängigen Variablen der Form zu enden: $$f(V_1,V_{in}, V_{out}) = 0 \tag6$$ $$g(V_1,V_{in}, V_{out}) = 0 \tag7$$ Sie können dann einen Ausdruck für finden $V_1$bezüglich $V_{in}$Und $V_{out}$sowohl aus (6) als auch aus (7). Setzen Sie beide gleich, um eine endgültige Formgleichung zu erhalten: $$h(V_{in},V_{out}) = 0$$ Dann kannst du aussortieren $V_{out}/V_{in}$um die Übertragungsfunktion abzuleiten.

Im Grunde haben Sie 5 unbekannte Variablen und 4 Gleichungen, mit denen Sie einen Ausdruck in Form von finden können$\frac{V_{out}}{V_{in}}$.

Seien Sie vorsichtig mit Kirchhoffs aktuellem Gesetz: Das sagen Sie$I_1 = 0$was nicht wahr ist, es sei denn, Sie betrachten dies als den Strom, der in den / aus dem Knoten fließt$I_1$über eine virtuelle Leitung. Das können Sie trotzdem richtig sagen

$$\sum_{i}I_{n,i} = 0$$ Wo $I_{n,i}$ist der Strom $I_i$fließt in den Knoten $n$. Mit dieser Erwähnung können Sie eine Gleichung in eine andere einfügen, wie Sie es in einer normalen algebraischen Gleichung tun würden.