RLC-Filter zweiter Ordnung und Wahl des Lastwiderstands

Deine Auswahl$R_g=R_L=\sqrt{L/C}$ergibt ein konjugiert komplexes Polpaar mit einem Qualitätsfaktor$Q_p=0.707$. Diese Dimensionierung ergibt also einen passiven Tiefpass zweiter Ordnung mit Butterworth- Verhalten (maximal flach). Darüber hinaus kann gezeigt werden, dass für jede passive Leiterstruktur (und Ihre Schaltung ist die einfachste Form einer Leiter) die Empfindlichkeit gegenüber Teiletoleranzen auf ihrem theoretischen Minimum liegt$R_g=R_L$(abgestimmte Eingangs- und Ausgangsanschlüsse).

" Haben die komplex konjugierten Pole eine bestimmte Position? "

Ja – die Position des Polpaares hat eine außergewöhnliche Eigenschaft: Die Pole befinden sich im Komplex$s$-Ebene mit einem (negativen) Realteil, der mit dem Imaginärteil identisch ist (Re=Img). Daher gibt es einen Winkel von$45^{\circ}$zwischen einer Linie, die auf den Pol zeigt, und der reellen Achse.

UPDATE: Die klassische Funktion zweiter Ordnung ist$H(s)=N(s)/D(s)$. Für einen Tiefpass haben wir$N(s)=A_o$(Gewinn bei$\omega=0$) Und$D(s)=[1+s/(\omega_pQ_p)+(s/\omega_p)^2]$.

Zum Finden des Maximums von$H(s)$wir müssen den Betrag der komplexen Funktion aufschreiben$H(s=j\omega)$. Als nächsten Schritt finden wir die erste Ableitung (Differentialquotient) und setzen sie auf Null. So finden wir die Frequenz$\omega$, maximal wo$|H(j\omega)|$sein Maximum hat - und Einfügen dieser Frequenz$\omega$, max in den Ausdruck für die Größe$|H(j\omega)|$wir finden den WERT des Maximums, der ist:

Aus diesen Ausdrücken können wir ableiten, dass wir haben$\omega$,max=0 und$|H,\text{max}|=A_o$für den Sonderfall$Q_p=\sqrt{0.5}=0.7071$. Dies lässt folgende Interpretation zu:

Für$Q_p=0.7071$es gibt keine Amplitudenüberhöhung und das Maximum wird bei erreicht$\omega=0$. Darüber hinaus hat der Amplitudengang dieses Filters 2. Ordnung eine "maximal flache" Charakteristik (Butterworth-Antwort).

Ich denke, Sie sind auf dem richtigen Weg - Stangen sind es!

Beim Filtern möchten Sie im Allgemeinen einen Bereich mit so wenig Verlust wie möglich und einen anderen Bereich mit so viel Verlust wie möglich. In Ihrem Bode-Plot erzeugt jeder Tiefpasspol ein Knie in der Kurve, wo die Steigung um 10 dB / Dekade abfällt. Wenn Sie also bei einem Filter mit mehreren Ordnungen alle Pole im Wesentlichen auf derselben Frequenz haben, erhalten Sie das steilste Knie, das Ihre Bereiche von Durchlassband und Sperrband trennt.

Beachten Sie, dass Ihr Nenner jetzt nur +1 (nicht +2) haben würde, wenn Sie den Ausgang der Quelle (durch die Quellenimpedanz Rg) mit dem endgültigen Lastausgang vergleichen würden. Mit einem Ende von +1 kann Ihr Nenner in (s*sqrt(LC)+1)^2 faktorisiert werden, und voila Sie haben zwei Pole bei genau s=1/sqrt(LC)

Der Dämpfungskoeffizient,$\zeta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, das ist das niedrigste mögliche$\zeta$Wert, der keine Amplitudenresonanzspitze erzeugt; dh es ergibt die schärfste Ecke im Amplitudenfrequenzgang mit einem Amplitudenverhältnis von Eins bei Resonanz.