Hilfe bei der Ableitung der Übertragungsfunktion einer LC-Schaltung?

Wenn Sie die Algebra machen (es ist natürlich erstaunlich, was die Leute im Lockdown machen), erhalten Sie die folgende Übertragungsfunktion: -

$$H(s) = \dfrac{1}{s^3LC_1C_2R + s^2LC_2 + sR(C_1+C_2) + 1}$$

Und nur um zu demonstrieren, dass das richtig ist, habe ich Mikrokappe 12 und die folgende Schaltung verwendet: -

Innerhalb des roten Kästchens befindet sich die Eingangswechselspannung, die von niedrigen zu hohen Frequenzen gewobbelt werden kann. Links davon befindet sich die herkömmliche Schaltung, die von R, L, C1 und C2 gebildet wird.

Rechts haben wir den Laplace-Funktionslöser von Micro-Caps 12. Beide Kreise werden von V1 (roter Kasten) gespeist.

Beim Vergleich beider Bode-Plots erhalten wir identische überlappende Ergebnisse: -

Wenn das hilft, ist das gut. Wenn Sie die Ableitung des obigen TF benötigen, fragen Sie. Ich nehme nicht an, dass es weh tut, meine einigermaßen lesbaren Handkalkulationen zu posten: -

Diese Übertragungsfunktion kann unter Verwendung einer Brute-Force-Analyse oder der als FACTs bekannten schnellen analytischen Schaltungstechniken erhalten werden. Für den Brute-Force-Ansatz können Sie einen Thévenin-Generator mit dem ersten in Betracht ziehen$RC$Filter fahren die$LC$Netzwerk. Wenn Sie die Mathematik in Ordnung machen, sollten Sie Folgendes finden:

Dann entwickeln Sie alle Terme und ordnen sie neu an, um ein Polynom 3. Ordnung zu bilden, um Resonanz- und Grenzfrequenzen aufzudecken. Die andere Möglichkeit besteht darin, die FACTs zu verwenden, die Sie auf einen Schlag zu den Koeffizientenwerten führen, ohne Gleichungen und das Risiko, Fehler zu machen, während Sie den obigen Ausdruck entwickeln. Gehen Sie einfach die Zeitkonstantenbestimmung durch, wie in der folgenden Zeichnung gezeigt, und Sie finden die Übertragungsfunktion sehr schnell:

Stellen Sie die Zeitkonstanten in einem Mathcad-Blatt zusammen und versuchen Sie, das 3.-oder-Polynom mit einem Filter 1.-Ordnung zu faktorisieren, der den Niederfrequenzgang dominiert:

Und schließlich können Sie die AC-Antwort zeichnen. Bitte beachten Sie die Abweichung des faktorisierten Ausdrucks. Dies liegt daran, dass die$RC$Die Grenzfrequenz liegt zu nahe an den Doppelpolen, die durch die entstehen$LC$Filter. Zunehmend$R_1$bis 100$\Omega$gibt eine bessere Passform:

Zuerst werde ich eine Methode vorstellen, die Mathematica verwendet , um dieses Problem zu lösen. Als ich dieses Zeug studierte, benutzte ich die Methode die ganze Zeit (natürlich ohne Mathematica zu benutzen).

Nun, wir versuchen, die folgende Schaltung zu analysieren:

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Wenn wir KCL verwenden und anwenden , können wir den folgenden Satz von Gleichungen schreiben:

$$\text{I}_1=\text{I}_2+\text{I}_3\tag1$$

Wenn wir das Ohmsche Gesetz verwenden und anwenden , können wir den folgenden Satz von Gleichungen schreiben:

$$\begin{cases} \text{I}_1=\frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}\\ \\ \text{I}_2=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}\\ \\ \text{I}_3=\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_3}\\ \\ \text{I}_3=\frac{\text{V}_2}{\text{R}_4} \end{cases}\tag2$$

Ersatz$(2)$hinein$(1)$, um zu bekommen:

$$\begin{cases} \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}+\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_3}\\ \\ \frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}+\frac{\text{V}_2}{\text{R}_4} \end{cases}\tag3$$

Jetzt können wir nach der Übertragungsfunktion auflösen:

$$\mathcal{H}:=\frac{\text{V}_2}{\text{V}_\text{i}}=\frac{\text{R}_2\text{R}_4}{\text{R}_1\left(\text{R}_2+\text{R}_3+\text{R}_4\right)+\text{R}_2\left(\text{R}_3+\text{R}_4\right)}\tag4$$

Wobei ich folgenden Mathematica-Code verwendet habe:

In[1]:=Clear["Global`*"];
FullSimplify[
 Solve[{I1 == I2 + I3, I1 == (Vi - V1)/R1, I2 == V1/R2, 
   I3 == (V1 - V2)/R3, I3 == V2/R4}, {I1, I2, I3, V1, V2}]]

Out[1]={{I1 -> ((R2 + R3 + R4) Vi)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  I2 -> ((R3 + R4) Vi)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  I3 -> (R2 Vi)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  V1 -> (R2 (R3 + R4) Vi)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4)), 
  V2 -> (R2 R4 Vi)/(R2 (R3 + R4) + R1 (R2 + R3 + R4))}}

---

Wenn wir die Ableitung von oben auf Ihre Schaltung anwenden möchten, müssen wir die Laplace-Transformation verwenden (ich werde Funktionsnamen in Kleinbuchstaben für die Funktionen verwenden, die sich in der (komplexen) s-Domäne befinden, also$\text{y}\left(\text{s}\right)$ist die Laplace-Transformation der Funktion$\text{Y}\left(t\right)$):

• $$\text{R}_2=\frac{1}{\text{sC}_1}\tag5$$
• $$\text{R}_3=\text{sL}\tag6$$
• $$\text{R}_4=\frac{1}{\text{sC}_2}\tag7$$

Wir können die Übertragungsfunktion also umschreiben als:

$$\mathscr{H}\left(\text{s}\right)=\frac{\frac{1}{\text{sC}_1}\cdot\frac{1}{\text{sC}_2}}{\text{R}_1\left(\frac{1}{\text{sC}_1}+\text{sL}+\frac{1}{\text{sC}_2}\right)+\frac{1}{\text{sC}_1}\cdot\left(\text{sL}+\frac{1}{\text{sC}_2}\right)}=$$ $$\frac{1}{\text{C}_1\text{C}_2\text{L}\text{R}_1\text{s}^3+\text{C}_2\text{L}\text{s}^2+\text{R}_1\left(\text{C}_1+\text{C}_2\right)\text{s}+1}\tag8$$

Jetzt, wenn wir mit sinusförmigen Signalen arbeiten, können wir verwenden$\text{s}:=\text{j}\omega$(Wo$\text{j}^2=-1$Und$\omega=2\pi\text{f}$mit$\text{f}$ist die Frequenz des Eingangssignals in Hertz). Also bekommen wir:

$$\underline{\mathscr{H}}\left(\text{j}\omega\right)=\frac{1}{\text{C}_1\text{C}_2\text{L}\text{R}_1\left(\text{j}\omega\right)^3+\text{C}_2\text{L}\left(\text{j}\omega\right)^2+\text{R}_1\left(\text{C}_1+\text{C}_2\right)\text{j}\omega+1}=$$ $$\frac{1}{-\text{C}_1\text{C}_2\text{L}\text{R}_1\omega^3\text{j}-\text{C}_2\text{L}\omega^2+\text{R}_1\left(\text{C}_1+\text{C}_2\right)\omega\text{j}+1}=$$ $$\frac{1}{1-\text{C}_2\text{L}\omega^2+\text{R}_1\omega\left(\text{C}_1+\text{C}_2\left(1-\text{C}_1\text{L}\omega^2\right)\right)\text{j}}\tag9$$

Der Absolutwert der Übertragungsfunktion ist also gegeben durch:

$$\left|\underline{\mathscr{H}}\left(\text{j}\omega\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\text{C}_2\text{L}\omega^2\right)^2+\left(\text{R}_1\omega\left(\text{C}_1+\text{C}_2\left(1-\text{C}_1\text{L}\omega^2\right)\right)\right)^2}}\tag{10}$$