Übertragungsfunktion für ein passives Tiefpassfilter zweiter Ordnung und zur Bestimmung der Bauteilwerte

Sie haben die Wahl zwischen mehreren Ansätzen, um die Übertragungsfunktion dieser Schaltung 2. Ordnung zu bestimmen (dies ist eine 2. Ordnung, weil Sie zwei energiespeichernde Elemente mit unabhängigen Zustandsgrößen haben). Der, der einem sofort in den Sinn kommt, ist der einfache Impedanzteiler:$Z_1(s)=R_1+sL_1$Und$Z_2(s)=\frac{1}{sC_2}$. Dann kannst du schreiben$H_{ref}(s)=\frac{Z_2(s)}{Z_2(s)+Z_1(s)}$. Diesen Ausdruck können Sie weiterentwickeln und in einer Form umgestalten, dass Sie einen Qualitätsfaktor enthüllen$Q$und eine Resonanzfrequenz$\omega_0$. Diese beiden Parameter stellen ein Designziel dar, mit dem Sie die Komponentenwerte bestimmen können. Wenn dies hier eine einfache Übung ist, erkennen Sie, dass das Hinzufügen weiterer Elemente wie eines Belastungswiderstands quer erfolgt$C_1$zum Beispiel oder andere Parasiten beginnen, die Dinge schwieriger zu handhaben.

Eine einfachere Methode besteht in der Verwendung der Fast-Analytic-Circuit-Techniken oder FACTs . Anstatt algebraische Linien zu schreiben, warum nicht einfache Skizzen betrachten, wie unten gezeigt? Das Prinzip liegt in der Bestimmung der Zeitkonstanten einer Schaltung bei der Anregung$V_{in}$auf 0 V reduziert (hier eine Spannungsquelle). Eine 0-V-Spannungsquelle ist ein Kurzschluss, daher ersetzen Sie das Quellensymbol durch einen Kurzschluss und "schauen" auf den Widerstand, den die Verbindungsklemmen der Energiespeicherelemente bieten, wenn$L$Und$C$alternativ in zwei verschiedene Zustände versetzt: Gleichstromzustand und Hochfrequenzzustand. Im ersten Zustand ist eine Kappe ein offener Stromkreis, während eine Induktivität ein Kurzschluss ist. Im zweiten Zustand ist eine Kappe ein Kurzschluss und eine Induktivität ein offener Stromkreis.

Die Übung ist ganz einfach. Bestimmen Sie zuerst die Verstärkung der Schaltung bei Gleichstrom: Schließen Sie die Induktivität kurz und öffnen Sie die Kappe:$H_0 = 1$weil der Kondensator entladen ist. Reduzieren Sie dann die Anregung auf Null und bestimmen Sie die beteiligten Zeitkonstanten$L_1$Und$C_2$in diesem Modus. Die erste Zeichnung zeigt einen unendlichen Widerstand "gesehen" aus$L_1$Die Terminals von implizieren eine Zeitkonstante von 0 s, während die zweite Skizze eine Zeitkonstante zeigt$\tau_2=R_1C_2$. Das zweite zeitkonstante Produkt wird durch Kurzschließen erhalten$C_2$beim "Schauen" auf den Widerstand aus$L_1$Terminals:$\tau_{21} = \frac{L_1}{R_1}$. Das ist es, wir können den folgenden Nenner schreiben$D(s) = 1+sb_1+s^2b_2 = 1 + s(\tau_1+\tau_2) + s^2(\tau_2\tau_{21})$. Dann können Sie diese Polynomform neu anordnen, um sie an die klassische kanonische Form anzupassen, die in der Literatur zu finden ist. Das folgende Mathcad-Blatt zeigt Folgendes:

Das Coole daran ist, dass ich die Übertragungsfunktion bestimmen konnte, indem ich einfache Skizzen durchging, ohne eine Zeile Algebra zu schreiben. Wenn ich einen Fehler gemacht habe, ist es einfach, zur schuldigen Zeichnung zurückzukehren und sie zu korrigieren. Es gibt hier ein Tutorial , das ich denjenigen, die sich mit dem Studium von Übertragungsfunktionen befassen, dazu ermutige, es zu lesen. Wenn Sie sich die Fähigkeit einmal angeeignet haben, werden Sie nicht mehr zur klassischen Analyse zurückkehren!

Hier sind einige Hinweise/Hilfestellungen: -

Wie wird die vorhergesagte Tiefpassfilter-Übertragungsfunktion für diese spezielle Schaltung erstellt?

Sie müssen das Q der Schaltung definieren, dh die Amplitude des Ausgangs bei der natürlichen Resonanzfrequenz ($\omega_n$). Für eine Butterworth-Antwort ist Q = 0,7071. Q definiert immer die Amplitude der Übertragungsfunktion an$\omega_n$: -

Bild von hier .

der Phasenwinkel zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung beträgt -90 Grad bei der Grenzfrequenz (78 kHz)

Und wenn Sie den Abschnitt etwas weiter unten vom Bildlink mit dem Titel "Qualitätsfaktor, Amplitude und Phase bei$\omega_n$" sehen Sie einen Beweis dafür, dass die Filterphase bei der Grenzfrequenz immer 90 Grad beträgt.

Die Grenzfrequenz ist definiert als f =$\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Sie müssen jedoch einen Widerstandswert wählen, der Q erfüllt, und dies hängt auch vom Verhältnis von L und C ab. Versuchen Sie, diese Seite zu verwenden , um Hilfe bei der Auswahl von Werten zu erhalten. Okawa Electric Design ist der Name der Website und sehr nützlich.