Übertragungsfunktion des Hochpassfilters über Impulsantwortfunktion

Question

Übertragungsfunktion des Hochpassfilters über Impulsantwortfunktion

Filter
Physik
Tiefpass
Sprungantwort
Übertragungsfunktion

Mussé Redi

Es fällt mir schwer, die Übertragungsfunktion eines Hochpass-RC-Filters zu berechnen, indem ich die Fourier-Transformation seiner Impulsantwortfunktion nehme:

H (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} H (T) e^{- ich ω T} = \frac{- 1}{1 + ich ω R C},

$H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-i\omega t}\ = \frac{-1}{1+i\omega RC},$ welches die Übertragungsfunktion ist, die einer Tiefpass- Übertragungsfunktion entspricht.

Ich habe seine Impulsantwortfunktion erhalten, indem ich die Ableitung seiner Sprungantwortfunktion genommen habe

H (T) = \frac{D}{D T} e^{- T / R C} = \frac{- 1}{R C} e^{- T / R C} .

$h(t) = \frac{d}{dt} e^{-t/RC} = \frac{-1}{RC} e^{-t/RC}\ .$

Die Step-Funktion

S (T) = e^{- T / R C}

$s(t) = e^{-t/RC}$ wird abgeleitet, indem die Differentialgleichung gelöst wird, die sich aus dem Gleichsetzen der Ausdrücke für den Strom durch den Widerstand bzw. den Kondensator ergibt.

Chu

Ihre erste Gleichung ist ein Tiefpass TF. Ihr s(t) ist auch für eine Sprungantwort falsch.

Mussé Redi

lim_{ω \to \infty} | H (ω) | = lim_{ω \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} = 1.

$\lim_{\omega \to \infty} |H(\omega)| = \lim_{\omega \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} = 1.$ Somit,

H (ω) = \frac{- 1}{1 + ich ω R C}

$H(\omega) = \frac{-1}{1+i \omega RC}$ ist ein Hochpass TF. Zur Sprungantwort

S (T) = e^{- T / R C}

$s(t)=e^{-t/RC}$ . Bei

T = 0

$t=0$ Die gesamte Spannung liegt über dem Widerstand, wenn der Kondensator zu laden beginnt. Dies entspricht der Sprungantwortfunktion. Wenn wir die Spannung über dem Kondensator messen würden, hätten wir es getan

S (T) = 1 - e^{- T / R C}

$s(t) = 1-e^{-t/RC}$ .

Andi aka

@MusséRedi falsch - das ist ein Tiefpass TF.

Mussé Redi

@Andyaka Macht nichts, natürlich hast du Recht; danke für den hinweis! Ich weiß nicht, warum ich diesen Rechenfehler früher gemacht habe.

lim_{ω \to \infty} | H (ω) | = 0

$\lim_{\omega \to \infty} |H(\omega)| = 0$ In der Tat. :)

Mussé Redi

@Andyaka Könnten Sie näher erläutern, warum die Sprungantwort

S (T) = e^{- T / R C}

$s(t) = e^{-t/RC}$ ist falsch?

Mussé Redi

Ich habe eine große Korrektur vorgenommen. Ich versuche, die Übertragungsfunktion eines Hochpassfilters über seine Impulsantwortfunktion zu berechnen. Das Problem ist, dass ich aus irgendeinem Grund die Übertragungsfunktion für einen Tiefpassfilter zu berechnen scheine.

Andi aka

Ich bin verwirrt von der Frage. Im s-Bereich ist ein Impuls 1, daher bleibt der Hochpass TF genau der eines Hochpasses. Ich verstehe nicht, worauf du damit hinaus willst.

ein besorgter Bürger

@MusséRedi Versuchen Sie so etwas wie s/(s+1), sehen Sie, wo Sie hinkommen.

Mussé Redi

@Andyaka Das erste Problem, das ich lösen möchte, ist zu sehen, warum meine Sprungantwortfunktion falsch ist.

Mussé Redi

@aconcernedcitizen Was meinst du damit, etwas wie s/(s+1) zu versuchen ? Mein Ziel ist es, die Übertragungsfunktion durch Fourier-Transformation der Impulsantwort des Filters zu berechnen.

Chu

h(t), wie Sie abgeleitet haben, ist die Umkehrung der Übertragungsfunktion; Daher ist es die Impulsantwort, nicht die Sprungantwort. Sie können nicht willkürlich erklären, dass h(t) eine Sprungantwort ist, wenn diese Aussage nicht durch die vorhergehenden Gleichungen gestützt wird.

Benutzer103380

Es ist in der Elektrotechnik sehr tabu, es zu verwenden

i

$i$ als Ihre imaginäre Zahl .... erwägen Sie die Verwendung

j

$j$ stattdessen :) Sie wollen nicht verwirren

i

$i$ für Strom ... Deshalb verwenden Elektroingenieure

j

$j$ als imaginäre Zahlen.

Mussé Redi

@KingDuken Sicher, mein Text verwendet es austauschbar. Aber ich denke, Sie haben einen Punkt darin, konsequent zu sein. :)

Benutzer103380

Ich denke, sie haben ein anderes Symbol für aktuelles LOL ... vielleicht ...

I

$I$ ?

Mussé Redi

@KingDuken Nein,

I

$I$ wird für die Fourier-Transformation des Stroms verwendet. :)

Antworten (1)

Übertragungsfunktion des Hochpassfilters über Impulsantwortfunktion

Ihre erste Gleichung ist ein Tiefpass TF. Ihr s(t) ist auch für eine Sprungantwort falsch.
$lim_{ω \to \infty} | H (ω) | = lim_{ω \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} = 1.$ $\lim_{\omega \to \infty} |H(\omega)| = \lim_{\omega \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} = 1.$ Somit, $H (ω) = \frac{- 1}{1 + ich ω R C}$ $H(\omega) = \frac{-1}{1+i \omega RC}$ ist ein Hochpass TF. Zur Sprungantwort $S (T) = e^{- T / R C}$ $s(t)=e^{-t/RC}$ . Bei $T = 0$ $t=0$ Die gesamte Spannung liegt über dem Widerstand, wenn der Kondensator zu laden beginnt. Dies entspricht der Sprungantwortfunktion. Wenn wir die Spannung über dem Kondensator messen würden, hätten wir es getan $S (T) = 1 - e^{- T / R C}$ $s(t) = 1-e^{-t/RC}$ .
@Andyaka Macht nichts, natürlich hast du Recht; danke für den hinweis! Ich weiß nicht, warum ich diesen Rechenfehler früher gemacht habe. $lim_{ω \to \infty} | H (ω) | = 0$ $\lim_{\omega \to \infty} |H(\omega)| = 0$ In der Tat. :)
@Andyaka Könnten Sie näher erläutern, warum die Sprungantwort $S (T) = e^{- T / R C}$ $s(t) = e^{-t/RC}$ ist falsch?
Ich habe eine große Korrektur vorgenommen. Ich versuche, die Übertragungsfunktion eines Hochpassfilters über seine Impulsantwortfunktion zu berechnen. Das Problem ist, dass ich aus irgendeinem Grund die Übertragungsfunktion für einen Tiefpassfilter zu berechnen scheine.
Ich bin verwirrt von der Frage. Im s-Bereich ist ein Impuls 1, daher bleibt der Hochpass TF genau der eines Hochpasses. Ich verstehe nicht, worauf du damit hinaus willst.
@MusséRedi Versuchen Sie so etwas wie s/(s+1), sehen Sie, wo Sie hinkommen.
@Andyaka Das erste Problem, das ich lösen möchte, ist zu sehen, warum meine Sprungantwortfunktion falsch ist.
@aconcernedcitizen Was meinst du damit, etwas wie s/(s+1) zu versuchen ? Mein Ziel ist es, die Übertragungsfunktion durch Fourier-Transformation der Impulsantwort des Filters zu berechnen.
h(t), wie Sie abgeleitet haben, ist die Umkehrung der Übertragungsfunktion; Daher ist es die Impulsantwort, nicht die Sprungantwort. Sie können nicht willkürlich erklären, dass h(t) eine Sprungantwort ist, wenn diese Aussage nicht durch die vorhergehenden Gleichungen gestützt wird.
Es ist in der Elektrotechnik sehr tabu, es zu verwenden $i$ als Ihre imaginäre Zahl .... erwägen Sie die Verwendung $j$ stattdessen :) Sie wollen nicht verwirren $i$ für Strom ... Deshalb verwenden Elektroingenieure $j$ als imaginäre Zahlen.
@KingDuken Sicher, mein Text verwendet es austauschbar. Aber ich denke, Sie haben einen Punkt darin, konsequent zu sein. :)
Ich denke, sie haben ein anderes Symbol für aktuelles LOL ... vielleicht ... $I$ ?
@KingDuken Nein, $I$ wird für die Fourier-Transformation des Stroms verwendet. :)

ein besorgter Bürger · Answer 1

Wenn Sie den einfachen RC-Hochpass betrachten:

Dann können Sie die beiden I/O-Gleichungen schreiben:

v_{ich} (T) = v_{C} (T) + v_{R} (T)

$v_i(t)=v_C(t)+v_R(t)$

v_{Ö} (T) = v_{R} (T)

$v_o(t)=v_R(t)$

Betrachtet man i(t) den Strom durch die Schaltung (ohne Last) und v _C (t) die Spannung über C:

v_{ich} (T) = \frac{1}{C} \int ich (T) D T + R ich (T)

$v_i(t)=\frac{1}{C}\int{i(t)\text{d}t}+R i(t)$

v_{Ö} (T) = R ich (T)

$v_o(t)=R i(t)$

Wenden Sie die Laplace-Transformation auf die erste an, wobei I(s) die Laplace-Transformation von i(t) ist:

v_{ich} (S) = \frac{1}{S C} ICH (S) + R ICH (S) = ICH (S) (R + \frac{1}{S C}) =>

$V_i(s)=\frac{1}{sC}I(s)+R I(s)=I(s)\left(R+\frac{1}{sC}\right)=>$

ICH (S) = \frac{v_{ich} (S)}{R + \frac{1}{S C}}

$I(s)=\frac{V_i(s)}{R+\frac{1}{sC}}$

Dieselbe Laplace-Transformation für die Ausgabe ergibt:

v_{Ö} (S) = R ICH (S) = \frac{v_{ich} (S) R}{R + \frac{1}{S C}} =>

$V_o(s)=R I(s)=\frac{V_i(s)R}{R+\frac{1}{sC}}=>$

\frac{v_{Ö} (S)}{v_{ich} (S)} = \frac{R}{R + \frac{1}{S C}} = \frac{R}{\frac{S R C + 1}{S C}} = \frac{S R C}{S R C + 1} = \frac{S}{S + \frac{1}{R C}}

$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{R}{R+\frac{1}{sC}}=\frac{R}{\frac{sRC+1}{sC}}=\frac{sRC}{sRC+1}=\frac{s}{s+\frac{1}{RC}}$

Deshalb sagte ich, es sollte so etwas wie sein s/(s+1). Wenn Sie nun einige inverse Laplace-Transformationen durchführen, erhalten Sie am Ende eine interessante Impulsantwort. Ordnen Sie zuerst in streng echte Teilbrüche:

\frac{S}{S + \frac{1}{R C}} = 1 - \frac{\frac{1}{R C}}{S + \frac{1}{R C}}

$\frac{s}{s+\frac{1}{RC}}=1-\frac{\frac{1}{RC}}{s+\frac{1}{RC}}$

Und jetzt sehen Sie, dass 1 die Laplace-Transformation des Dirac-Impulses ist, plus der Rest davon, der der Tiefpass-RC mit der Impulsantwort ist $1-exp(-\frac{t}{RC})$ , und Sie könnten versucht sein, die 1s zu streichen, aber die erste ist die $\delta$ (t) und die Ableitung der Sprungantwort ist $\frac{exp(-\frac{t}{RC})}{RC}$ , was zu der gesamten Impulsantwort führt (der Punkt, an dem Sie hätten beginnen sollen):

v_{Ö} (T) = δ (T) - \frac{e X P (- \frac{T}{R C})}{R C}

$v_o(t)=\delta(t)-\frac{exp(-\frac{t}{RC})}{RC}$

Hier ist die Bestätigung (der Eingangsimpuls beträgt pulse 0 1k 0 1n 1n 1m-- 1 kV über 1 ms):

und hier ist ein Zoom auf der Y-Achse:

Das ist ein Grund, warum es nicht geklappt hat, du hast die Anfangsbedingungen und den Einfluss des Dirac-Impulses weggelassen: Bei t<0 ist alles Null (Nullbedingungen), bei t=0 lädt sich der (ideale) Kondensator mit dem Eingang auf , die Ableitung der angelegten Spannung, $\delta$ (t), aber die Eingangsspannung ist nicht nur ein Anstieg, sondern auch ein Abfall, beides gleichzeitig (Dirac oder, wie Freunde ihn nannten, Chuck Norris), sodass die Spannung am Kondensator zurückgeht und dann ihren negativen Wert erreicht Spitze, nach der die Entladung erfolgt.

Übertragungsfunktion des Hochpassfilters über Impulsantwortfunktion

Mussé Redi

Chu

Mussé Redi

Andi aka

Mussé Redi

Mussé Redi

Mussé Redi

Andi aka

ein besorgter Bürger

Mussé Redi

Mussé Redi

Chu

Benutzer103380

Mussé Redi

Benutzer103380

Mussé Redi

Antworten (1)

ein besorgter Bürger

Hilfe bei der Ableitung der Übertragungsfunktion einer LC-Schaltung?

Wie implementiert man einen Tiefpassfilter für diese Übertragungsfunktion mit einer Null und einem Pol?

Was ist die Übertragungsfunktion von n-kaskadierten RC-Filtern?

RLC-Filter zweiter Ordnung und Wahl des Lastwiderstands

Versuch, die Leistung eines RC-Filters mit Last zu bestimmen

Übertragungsfunktion für ein passives Tiefpassfilter zweiter Ordnung und zur Bestimmung der Bauteilwerte

Übertragungsfunktion eines kaskadierten passiven + aktiven Filters

Warum ist die Übertragungsfunktion dieses nichtinvertierenden Tiefpassfilters falsch?

Verwirrung über die Filterübertragungsfunktion

optimaler Tiefpass durch Versuch und Irrtum?