Was ist die Übertragungsfunktion von n-kaskadierten RC-Filtern?

Es gibt keine explizite Formel für n kaskadierte RC-Tiefpassfilter (wie Sie gezeigt haben), da R2 und C2 beim Bewegen von links nach rechts den Ausgang von R1 und C1 laden und somit die Antwort von R1 und C1 ändern und weil R3 und C3 tun Dasselbe gilt für R2 und C2, was wiederum die Belastung von R1 und C1 widerspiegelt.

Die Verwendung von 2-Port-Netzwerken und Matrixmathematik hilft Ihnen dabei, mehrere Abschnitte leichter zu lösen, aber die Formeln neigen dazu, nach einigen Abschnitten lang zu werden, und das Auflösen nach der Grenzfrequenz und Q ist sehr mühsam.

Die beste Lösung ist die Verwendung eines Simulators wie LTSpice.

Angesichts der Tatsache, dass Sie einen Operationsverstärker in Ihrer Schaltung haben, der als Puffer fungiert, wäre es nicht unangemessen, dies zur Unterstützung zu verwenden. Dieser Sallen-Key-Rechner ist sehr gut und gibt Ihnen die Antwort und Formeln für einen Tiefpassfilter 2. Ordnung: -

Das Kaskadieren von 2 davon wird Ihnen wahrscheinlich eine bessere Reaktion bringen als das Kaskadieren von fünf passiven RC-Filtern, und das Schöne an dieser Methode ist, dass Sie sie ohne Interaktion zwischen den Komponenten kaskadieren können, da der Operationsverstärker als Puffer fungiert.

Das Verhalten jeder Reihen-Parallel-Kombination von Widerständen, Kondensatoren und Induktoren kann bei jeder gegebenen Frequenz unter Verwendung komplexer Arithmetik modelliert werden, indem jeder Kondensator und Induktor so betrachtet wird, als wäre es ein Widerstand, dessen "Widerstand" [eigentlich Impedanz] eine imaginäre Zahl ist; ein Widerstand in Reihe mit einem Kondensator verhält sich also wie ein „Widerstand“ mit einer komplexen Impedanz, deren Realteil vom Widerstand und deren Imaginärteil vom Kondensator kommt. Die normale Formel für parallele Widerstände (1/(1/R1+1/R2)) funktioniert genauso gut für Impedanzen wie für einfache Widerstände. Mit komplexer Mathematik könnte man den Spannungsausgang eines kaskadierten RC-Filters in Bezug auf den Eingang mit einer einigermaßen vernünftig aussehenden Formel berechnen. Bedauerlicherweise, Diese Formeln werden sehr chaotisch, wenn man reelle Zahlen verwenden möchte, um die realen (gleichphasigen) und imaginären (phasenverschobenen) Komponenten des endgültigen Signals zu berechnen, da die Division durch eine komplexe Zahl im Allgemeinen eine Normalisierung erfordert, also so etwas wie (a+bj)/(c+dj) wird zu ((ac-bd)+(bc+ad)j)/(c^2-d^2). Wenn Sie solche Ausdrücke sehr tief verschachteln, werden sie sehr schnell unhandlich.

Wenn Sie jedoch ein Paket haben, das problemlos mit Mathematik mit komplexen Zahlen umgehen kann, sollten Sie in der Lage sein, eine komplexe Übertragungsfunktion zu entwickeln und diese dann zu zeichnen. Wenn Sie alternativ einen Schaltungssimulator mit einer Bode-Plotterfunktion haben (die eine Schaltung mit verschiedenen Frequenzen stimuliert und die Antwort aufzeichnet), können Sie damit das Verhalten Ihrer Schaltung numerisch aufzeichnen.