Warum ist die Übertragungsfunktion dieses nichtinvertierenden Tiefpassfilters falsch?

Question

Warum ist die Übertragungsfunktion dieses nichtinvertierenden Tiefpassfilters falsch?

Filter
Physik
Aktivfilter
Sprungantwort
Übertragungsfunktion

NChef

Ich bin in einer größeren Schaltung auf diesen Block gestoßen:

schematisch

Mit einer Übertragungsfunktion (in Pol-Null-Form) von;

H (S) = \frac{S + 30000}{S + 5000}

$H(s) = \frac{s+30000}{s+5000}$ die mit KCL am invertierenden Anschluss des Operationsverstärkers gefunden wurde.

Da ich es nicht gewohnt bin, Übertragungsfunktionen mit herkömmlicher Schaltungsanalyse zu finden, wollte ich die "reine" Übertragungsfunktion finden (dh die allgemeine Funktion, nicht die Pol-Null-Darstellung). Ich habe jedoch festgestellt, dass das Ersetzen meiner Übertragungsfunktion anstelle des Pol-Nullpunkts durch eine Sprungantwort nicht ganz dasselbe ist. (Es stimmt auch nicht mit den Simulationsausgaben im Vergleich zur Pol-Null-Funktion überein)

Meine Berechnungen sind wie folgt:

v^{+} = v_{ich N} = v^{-} = v_{Ö u T} \times \frac{R_{2}}{\frac{1}{S C} | | R_{1} + R_{2}}

$V^{+}=V_{in}=V^{-}=V_{out}\times\frac{R_{2}}{\frac{1}{sC}||R_{1}+R_{2}}$

\frac{v_{Ö u T}}{v_{ich N}} = \frac{\frac{\frac{R_{1}}{S C}}{\frac{1}{S C} + R_{1}} + R_{2}}{R_{2}} = 1 + \frac{\frac{R_{1}}{S C}}{R_{2} (\frac{1}{S C} + R_{1})} = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} \times \frac{S C}{S C} \times \frac{1}{1 + R_{1} C S}

$\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{\frac{\frac{R_{1}}{sC}}{\frac{1}{sC}+R_{1}}+R_{2}}{R_{2}}=1 + \frac{\frac{R_{1}}{sC}}{R_{2}(\frac{1}{sC}+R_{1})}=1+\frac{R_{1}}{R_{2}}\times\frac{{sC}}{{sC}}\times\frac{1}{1+R_{1}Cs}$ Daraus fand ich die endgültige Übertragungsfunktion:

H (S) = K \frac{1}{1 + R_{1} C S}, Wo K = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} Und ω_{P} = \frac{1}{R_{1} C}

$H(s)=K\frac{1}{1+R_{1}Cs},\:\:\text{where}\:\:K=1+\frac{R_{1}}{R_{2}}\:\:\text{and}\:\:\omega_{p}=\frac{1}{R_{1}C}$ Der K-Wert wurde aus der DC-Verstärkung eines nichtinvertierenden Verstärkers abgeleitet und die Polfrequenzgleichung wurde aus der hier gezeigten Beziehung abgeleitet: https://en.wikipedia.org/wiki/Cutoff_frequency

Für die Übertragungsfunktion der größeren Schaltung; die Übertragungsfunktion dieses Blocks wird mit einer anderen multipliziert (ein RL-Filter ist mit dem Eingang des Operationsverstärkers verbunden);

T (S) = \frac{S}{S + \frac{R}{L}}, R = 80 Ω, L = 10 mH, T (S) = \frac{S}{S + 8000}

$T(s)=\frac{s}{s+\frac{R}{L}},\:\:R=80\Omega,\:\:L=10\text{mH},\:\:T(s)=\frac{s}{s+8000}$

H (S) \times T (S) = \frac{S (S + 30000)}{(S + 5000) (S + 8000)} - Verwendung der Pol-Null-Funktion

$H(s)\times T(s)=\frac{s(s+30000)}{(s+5000)(s+8000)} - \text{Using pole-zero function}$

H (S) \times T (S) = \frac{30000 S}{(S + 5000) (S + 8000)} - Transferfunktion nutzen

$H(s)\times T(s)=\frac{30000s}{(s+5000)(s+8000)} - \text{Using transfer function}$ Die Übertragungsfunktion erhielt dann eine Sprungfunktion

\frac{0.6}{s}

$\frac{0.6}{s}$ und dann mit Partialbrüchen vereinfacht:

H (S) = \frac{5}{S + 5000} - \frac{4.4}{S + 8000} - Verwendung der Pol-Null-Funktion

$H(s)=\frac{5}{s+5000}-\frac{4.4}{s+8000} - \text{Using pole-zero function}$

H (S) = \frac{6}{S + 5000} - \frac{6}{S + 8000} - Transferfunktion nutzen

$H(s)=\frac{6}{s+5000}-\frac{6}{s+8000} - \text{Using transfer function}$ Hier ist der Graph der Sprungantwort der beiden inversen Laplace-Funktionen:

Meine Frage ist folgende; Ist die "reine" Übertragungsfunktion, die ich abgeleitet habe, falsch oder wird nachträglich ein Fehler gemacht, der zu einem falschen endgültigen Diagramm im Vergleich zum Pol-Null-Diagramm führt? Die Polfrequenzgleichung ist korrekt und die allgemeine Form der Übertragungsfunktion entspricht einem Tiefpass, daher bin ich sehr verwirrt.

Antworten (3)

Warum ist die Übertragungsfunktion dieses nichtinvertierenden Tiefpassfilters falsch?

LvW · Answer 1

LvW

Die Übertragungsfunktion der nicht-invertierenden Schaltung (die kein Tiefpass ist ) ist nicht korrekt. Es gibt einen einfachen Rechenfehler.

Der korrekte Ausdruck lautet:

Vout/Vin=1+ (R1/R2)*[1/(1+sR1C1)]

Daher nähert sich die Übertragungsfunktion für s, die sich unendlich nähern, "1" (und nicht Null).

NChef

Also statt

K = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} it should be H (s) = 1 + K \frac{1}{1 + s R_{1} C}, where K = \frac{R_{1}}{R_{2}}

$K=1+\frac{R_{1}}{R_{2}}\:\text{it should be}\:H(s)=1+K\frac{1}{1+sR_{1}C},\:\text{where}\:K=\frac{R_{1}}{R_{2}}$ ?

Huismann

Das Vout/Vin in Ihrer Antwort ist das gleiche wie das Vin/Vout als OP!!

Verbale Kint

In Ihrem Ausdruck LvW fehlt die Null.

LvW

@Verbal Kint ... meinst du, dass die Übertragungsfunktion nicht korrekt ist? Ich verstehe Ihren Kommentar nicht. Natürlich ist die Null im Ausdruck enthalten – aber ohne Umschreiben der Formel nicht sichtbar.

Verbale Kint

Fehlalarm, ich habe die Klammer nach dem + übersehen: entschuldigung : )

Huismann · Answer 2

Ihre Transferfunktion $\frac {V_{out} }{ V_{in} }$ ist richtig.

Der Fehler liegt jedoch in folgendem:

H (S) = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} \cdot \frac{1}{1 + R_{1} C S} \neq (1 + \frac{R_{1}}{R_{2}}) \frac{1}{1 + R_{1} C S}

$H(s)=1+\frac{R_{1}}{R_{2}} \cdot \frac{1}{1+R_{1}Cs} \neq \bigg(1+\frac{R_{1}}{R_{2}} \bigg)\frac{1}{1+R_{1}Cs}$

Sie haben auch Recht, dass die DC-Verstärkung ist

H (0) = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} \cdot \frac{1}{1 + R_{1} C S} = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}}

$H(0)=1+\frac{R_{1}}{R_{2}} \cdot \frac{1}{1+R_{1}Cs} = 1+\frac{R_{1}}{R_{2}}$

Es liegt ein Pol ¹⁾ an $\omega_p = \frac{ 1 }{ R_1C }$ . Das kann man aus der obigen Übertragungsfunktion nicht einfach schließen. Schreiben Sie die Übertragungsfunktion besser als a um $\text{gain factor} \times \frac{ \text{polynomial with zeros} }{ \text{polynomial with poles} }$ :

H (S) = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} \cdot \frac{1}{1 + R_{1} C S}

$H(s) = 1 + \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{ 1 }{ 1+R_{1}Cs }$

H (S) = 1 + \frac{R_{1}}{R_{2} + R_{1} R_{2} C S}

$H(s) = 1 + \frac{ R_1 }{ R_2+R_1 R_2 Cs }$

H (S) = \frac{R_{2} + R_{1} R_{2} C S}{R_{2} + R_{1} R_{2} C S} + \frac{R_{1}}{R_{2} + R_{1} R_{2} C S}

$H(s) = \frac{ R_2+R_1 R_2 Cs }{ R_2+R_1 R_2 Cs } + \frac{ R_1 }{ R_2+R_1 R_2 Cs }$

H (S) = \frac{1}{R_{2}} \frac{(R_{1} + R_{2}) + R_{1} R_{2} C S}{1 + R_{1} C S}

$H(s) = \frac{ 1}{ R_2} \frac{ (R_1 + R_2) + R_1 R_2 Cs }{ 1 + R_1 Cs }$

Der Pol liegt tatsächlich an

S = \frac{1}{R_{1} C}

$s = \frac{ 1 }{ R_1 C }$

BEARBEITEN
¹⁾ Da LvW die Grenzfrequenz korrekt erwähnt $\omega_c$ ist NICHT identisch mit der Polfrequenz $\omega_p=\frac{ 1 }{ R_1 C }$ . Dies würde nur für einen echten Tiefpass gelten.

Was wäre also der K-Wert der Übertragungsfunktion in diesem Fall?
Ja, für die Übertragungsfunktion eines invertierenden Verstärkers ist das K normalerweise $-\frac{R_{2}}{R_{1}}$ Gibt es in diesem Fall einen K-Wert?
@Huisman ... du liegst falsch. Bitte überprüfen Sie die Einheit Ihres Polfrequenzausdrucks. Die Polfrequenz wird von NBoss angegeben.
@NBoss Obwohl K nur eine weitere Variable ist, könnte man einen allgemeinen Ausdruck für einen Tiefpassfilter 1. Ordnung definieren als $H(j \omega) = \frac{ K }{ 1 + j \omega / \omega_c }$ . Dies ist jedoch kein Tiefpassfilter 1. Ordnung, daher wäre hier ein Ausdruck von K bedeutungslos.
@Huisman .... es gibt einen weiteren Fehler: Für die angegebene Schaltung ist die Grenzfrequenz wc NICHT identisch mit der Polfrequenz wp = 1 / R1C1.. Dies würde nur für einen echten Tiefpass gelten. Die angegebene Schaltung ist jedoch kein klassischer Tiefpass 1. Ordnung - sie hat ein s-Element im Zähler, was dazu führt, dass wc nicht gleich wp ist. Hier ist die Berechnung von wc ziemlich kompliziert (wir müssen die Größe der vollständigen Funktion finden)

Verbale Kint · Answer 3

Diese einfache Schaltung hat einen Pol und eine Null. Es ist wichtig, die Übertragungsfunktion in einer Form mit niedriger Entropie auszudrücken , damit der Pol und die Null sowie die DC-Verstärkung deutlich erscheinen. Der Weg, es auf diese Weise zu schreiben, wäre: $H(s)=H_0\frac{1+\frac{s}{\omega_z}}{1+\frac{s}{\omega_p}}$ .

Es gibt viele Möglichkeiten, diesen Ausdruck zu bestimmen, aber ich persönlich bevorzuge die schnellen analytischen Schaltungstechniken oder FACTs, wie sie in meinem Buch beschrieben sind : Bestimmung der DC-Verstärkung $H_0$ wenn der Kondensator offen ist ( $s=0$ ). Dann die Erregung auf 0 V stellen (Quelle durch Kurzschluss ersetzen) und Widerstand ermitteln $R$ "gesehen" von den Kondensatoranschlüssen in diesem Modus. Dadurch erhalten Sie die natürliche Zeitkonstante $RC_1$ und der Pol ist der Kehrwert der Zeitkonstante in einem System 1. Ordnung. Für die Null ersetzen Sie einfach die Kappe. B. durch einen Kurzschluss, und bestimmen Sie die Verstärkung $H^1$ in diesem Modus:

Sobald Sie diese Werte zur Hand haben, erfassen Sie sie in einem Solver wie Mathcad, ordnen Sie sie neu an, damit sie in das oben genannte Format passen, und voilà:

Ich habe die Grenzfrequenzberechnung sowie das Phasenminimum hinzugefügt.

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