Analysieren eines Bandpass-Sallen-Key-Filters

Sie können die modifizierte Knotenanalyse verwenden, um nach allen unbekannten Knotenspannungen und unbekannten Strömen zu suchen. Sobald Sie die Knotenspannung erhalten, können Sie die Übertragungsfunktion finden. Für die Analyse bezeichne ich Knoten und Strom wie im Bild unten.

Jetzt können Sie KCL für jeden Knoten und eine Einschränkung von OpAmp schreiben.

Sie können 7 Gleichungen erhalten:

Dann können Sie 7 Gleichungen lösen, um alle unbekannten Spannungen und unbekannten Ströme zu erhalten. Schließlich ist die Übertragungsfunktion nur V5/V1.

Allgemeine Hinweise (funktioniert nicht nur für diese spezielle Konfiguration):

Führen Sie die folgenden Schritte aus$s$-Domain:

• Gleichung aufstellen vor$v_+$(pos. Eingang von OpAmp) als Ausdruck von$v_{in}$Und$v_{out}$.
• Gleichung aufstellen vor$v_-$(neg. Eingang von OpAmp) als Ausdruck von$v_{out}$.
• löse die Gleichung$v_+ = v_-$für$v_{out}$(z. B. durch Knotenanalyse oder durch Netzwerktransformationen)
• Setzen Sie den resultierenden Ausdruck in die Definition von ein$H(s)$:
  $H(s) = \frac{v_{out}}{v_{in}}$
  Der resultierende Ausdruck enthält nicht$v_{in}$(oder$v_{out}$oder$v_{aux}$) nicht mehr, sondern ist nur noch ein Ausdruck der Parameter$R_1$,$R_2$,$R_f$, ..,$C_1$, .. und die unabhängige Variable$s$.

Sie können symbolische mathematische Werkzeuge verwenden, z. B. sympyPaket für Python, Maple, Mathematica ...

Hier ist ein Python-Skript, das die Algebra ausführt (mit sympy); bin mir aber nicht sicher ob richtig:

# deriving the transfer function of a Sallen-Key band pass filter

from sympy import Symbol, symbols, solve, collect

s = Symbol('s')

def Xc(C): global s; return 1 / (s * C)

Vin, Vout, Vaux = symbols('Vin Vout Vaux')
R1, R2, C1, C2, Rf, Ra, Rb = symbols('R1 R2 C1 C2 Rf Ra Rb')
X1, X2 = Xc(C1), Xc(C2)

# get expression for Vaux by solving KCL in node_aux:
Vaux_expression = solve(    (Vin  - Vaux) / R1 
                          + (Vout - Vaux) / Rf 
                                  - Vaux  / X1 
                                  - Vaux  / (X2 + R2), 
                        Vaux)[0]

Vpos = Vaux_expression * R2 / (X2 + R2) # voltage at pos. input of OpAmp
Vneg = Vout * Ra / (Ra + Rb)            # voltage at neg. input of OpAmp

# get expression for Vout by solving equation Vneg = Vpos for Vout
Vout_expression = solve(Vpos - Vneg, Vout)[0]

# get transfer function H(s) by defining formula:
H = Vout_expression / Vin
H = collect(H, s)
print H

Ergebnis:C2*R2*Rf*s*(Ra + Rb)/(C1*C2*R1*R2*Ra*Rf*s**2 + R1*Ra + Ra*Rf + s*(C1*R1*Ra*Rf - C2*R1*R2*Rb + C2*R1*Ra*Rf + C2*R2*Ra*Rf))

Dieses Filter kann unter Verwendung der schnellen analytischen Schaltungstechniken oder FACTs analysiert werden . Das Prinzip besteht darin, die Zeitkonstanten der Schaltung in zwei verschiedenen Konfigurationen zu bestimmen: wenn die Erregung auf 0 V reduziert ist und mit einem genullten Ausgang, wenn die Erregung zurück ist.

Das Reduzieren der Erregung auf 0 V bedeutet den Austausch der Eingangsquelle$V_{in}$durch einen Kurzschluss. Dann „schau“ auf den Widerstand$R$von den energiespeichernden Elementen (den Kappen) zur Bildung von Zeitkonstanten angeboten,$\tau_1=RC_1$Und$\tau_2=RC_2$. Die folgenden Zeichnungen veranschaulichen dieses Prinzip:

Mit diesen beiden Zeichnungen bestimmen Sie folgende Zeitkonstanten:

$\tau_1=C_1(R_1||R_f)$

$\tau_2=C_2(\frac{k_1(R_1R_2+R_1R_f+R_2R_f)-R_1R_2}{k_1(R_1+R_f)})$

$b_1=\tau_1+\tau_2$

Dann versetzen Sie den Kondensator 1 in seinen hochfrequenten Zustand (Kurzschluss) und bestimmen den Widerstand$R$Blick in$C_2$Terminals:

Du hast$\tau_{12}=C_2R_2$Und$b_2=\tau_1\tau_{12}$

Schließlich bestimmen Sie den Gewinn$H^2$wenn Kondensator$C_2$ist ein Kurzschluss:

Die vollständige Übertragungsfunktion wird gemäß bestimmt$H(s)=\frac{sH^2\tau_2}{1+sb_1+s^2b_2}$

Aber selbst wenn dieser Ausdruck mathematisch korrekt ist, haben Sie keine Einsicht in den Plateaugewinn$H_{MB}$und die Abstimmfrequenz, die wirklich die Designziele sind. Sie müssen die Formel gemäß dem folgenden Low-Entropie- Format umarbeiten:$H(s)=H_{MB}\frac{1}{1+(\frac{\omega_0}{s}+\frac{s}{\omega_0})Q}$. Dies zeigen die folgenden Mathcad-Blätter und vergleichen die verschiedenen Antworten:

Es geht also nicht nur darum, eine Übertragungsfunktionsverknüpfung zu schreiben$V_{out}$Zu$V_{in}$sondern das Ergebnis in eine aussagekräftige Form umzugestalten, aus der Sie Erkenntnisse gewinnen und für ein bestimmtes Ziel in Abstimmungsfrequenz und Qualitätsfaktor entwerfen können: Das ist alles, worum es bei FACTs geht.

Es gibt wirklich nur zwei Knoten, die trainiert werden müssen. Alle anderen werden durch Knoten b definiert. Der Eingangsknotenknoten wird durch die Eingangsspannungsquelle definiert.

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Aus einem Kommentar: >Meine Algebra ist ziemlich gut. Aber ich verstehe nicht, wie ich vorgehen soll, um bei der Übertragungsfunktion zu landen.

Knoten a: KCL anwenden.

$$\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{f}}+C_{1}s+C_{2}s\right)V_{a}(s)-\frac{1}{R_{f}}V_{o}(s)-C_{2}sV_{b}(s)=\frac{1}{R_{1}}V_{i}(s)\tag{1}$$

Knoten b: KCL anwenden.

$$\left(\frac{1}{R_{2}}+C_{2}s\right)V_{b}(s)=C_{2}sV_{a}(s)$$

Lösen für$V_{a}$

$$\left(\frac{1}{R_{2}C_{2}s}+1\right)V_{b}(s)=V_{a}(s)\tag{2}$$

(2) durch (1) ersetzen

$$\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{f}}+C_{1}s+C_{2}s\right)\left(\frac{1}{R_{2}C_{2}s}+1\right)V_{b}(s)-\frac{1}{R_{f}}V_{o}(s)-C_{2}sV_{b}(s)=\frac{1}{R_{1}}V_{i}(s)\tag{3}$$

Aus einem Kommentar:>aber ich weiß nicht, wie ich die Gleichungen für v+ und v− ableiten soll

Lassen$K=1+\frac{R_{b}}{R_{a}}$. Dann,$V_{o}(s)=KV_{b}(s)$. Ersetzen Sie in (3).

Beachte das$v-=v+=v_{b}$

$$\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{f}}+C_{1}s+C_{2}s\right)\left(\frac{1}{R_{2}C_{2}s}+1\right)V_{o}(s)-\frac{K}{R_{f}}V_{o}(s)-C_{2}sV_{o}(s)=\frac{K}{R_{1}}V_{i}(s)\tag{4}$$

Ich überlasse es Ihnen, die Algebra in die im OP gezeigte Form zu vereinfachen.