Wie entwirft man ein Butterworth-Hochpassfilter 2. Ordnung mit einer Verstärkung von 6 dB?

Question

Wie entwirft man ein Butterworth-Hochpassfilter 2. Ordnung mit einer Verstärkung von 6 dB?

Filter
Physik
Aktivfilter
Hochpassfilter
Frequenzgang
Operationsverstärker

rrz0

Ich habe versucht, einen Filter 2. Ordnung mit einer Verstärkung von 6 dB (oder 2 Av) zu entwerfen, indem ich die folgende Sallen-Key-Topologie verwende.

Ich habe R1 und R2 berechnet, um mir eine gewünschte Grenze von 1,6 kHz zu geben, und dieser Teil funktioniert gut. Ich schaffe es jedoch nicht, die Verstärkung auf 6 dB zu bringen.

Nach dem Beispiel aus diesem Buch, Seite 450 , unter Verwendung der Butterworth-Koeffizienten für Filterparameter zweiter Ordnung α = 1,414 und b = 1,0.

Berechnung: R4 = 2 - α = 0,586 Ohm

Berechnung: R3 = 1 + 0,586/1 = 1,586 Ohm

Dieses Widerstandsverhältnis liefert eine Verstärkung von 1,586 gemäß den Butterworth-Koeffizienten. Somit sieht meine Schaltung so aus:

Der Frequenzgang sieht so aus:

Das obige Bild ist vielleicht nicht zu klar, aber die Grenzfrequenz ist wie gewünscht, aber die Verstärkung beträgt nicht 2 AV (6 dB), sondern 1,586 AV gemäß der obigen Berechnung. Bei Bedarf gebe ich gerne weitere Informationen.

Wie kann ich die obigen Gleichungen ändern, um eine Verstärkung von 2 Av zu erzielen, während ich die Butterworth-Koeffizienten verwende?

Transistor

Sollten R3- und 4-Berechnungen eher kΩ als Ω ergeben? Es ist "dB" - nicht "Db". 'd' für Dezi und 'B' für Bel.

rrz0

Das Berechnungsergebnis von R3 und R4 ist einfach das Verhältnis, sodass Einheiten keine Rolle spielen. Sie sind in Ohm angegeben, da 2 - 1,414 0,586 Ω und nicht 586 Ω oder 0,586 kΩ sind. In der von mir bereitgestellten Schaltung sind die Einheiten kΩ, wie Sie vorschlagen.

Transistor

Sie spielen eine Rolle, wenn Sie versuchen, sie mit einem Operationsverstärker anzusteuern. Solange Sie sich dessen bewusst sind, ist das in Ordnung.

Antworten (2)

Wie entwirft man ein Butterworth-Hochpassfilter 2. Ordnung mit einer Verstärkung von 6 dB?

Sollten R3- und 4-Berechnungen eher kΩ als Ω ergeben? Es ist "dB" - nicht "Db". 'd' für Dezi und 'B' für Bel.
Das Berechnungsergebnis von R3 und R4 ist einfach das Verhältnis, sodass Einheiten keine Rolle spielen. Sie sind in Ohm angegeben, da 2 - 1,414 0,586 Ω und nicht 586 Ω oder 0,586 kΩ sind. In der von mir bereitgestellten Schaltung sind die Einheiten kΩ, wie Sie vorschlagen.
Sie spielen eine Rolle, wenn Sie versuchen, sie mit einem Operationsverstärker anzusteuern. Solange Sie sich dessen bewusst sind, ist das in Ordnung.

Vinzenz · Answer 1

Erstens verstehe ich nicht, warum Sie sich auf Seite 450 des Buches beziehen;

Ihre Schaltung habe ich auf Seite 456 gefunden. Abbildung 11.23 „High-Pass Equal-Component“ (VCVS).

In dem Buch beschreiben sie zwei Arten von Sallen-Key-Topologiefiltern, eine davon ist die "Unit-Gain"-Version, die, wie der Name schon sagt, A _v = 1 hat. und die andere ist die "Equal-Component"-Version (die, die Sie haben), diese hat auch eine spezifische/feste Verstärkung, die damit verbunden ist, die A = 3-α ist, das sagt das Buch über die "Equal-Component". "-Version auf Seite 449:

"Wir sehen, dass Verstärkung und Dämpfung des Filters miteinander verknüpft sind. Tatsächlich funktioniert für einen bestimmten Dämpfungsfaktor nur eine bestimmte Verstärkung richtig: A = 3−α"

Da wir wissen, dass für einen Butterworth-Filter α sqrt(2) sein muss, bestimmt dies unseren Gewinn. Um die Frage zu beantworten;

Wie kann ich die obigen Gleichungen ändern, um eine Verstärkung von 2 Av zu erzielen, während ich die Butterworth-Koeffizienten verwende?

Das geht nicht, ohne die Grundschaltung zu ändern, da die Verstärkung durch die Topologie und die Wahl von α für ein Butterworth-Filter bestimmt wird.

Nun zur Beantwortung der allgemeineren Frage

Wie entwirft man ein Butterworth-Hochpassfilter 2. Ordnung mit einer Verstärkung von 6 dB?

Sie können die Verstärkung Ihrer Schaltung fast beliebig gestalten, indem Sie einfach einen einzelnen Widerstand hinzufügen und mit den Werten der vorhandenen wie folgt herumspielen;

Die Schaltung, die Sie haben, kann in diese umgewandelt werden:

schematisch

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Indem R2 und Rf durch Spannungsteiler ersetzt werden

Jetzt wird die Verstärkung Ihrer neuen Schaltung (3-α)(R3+R4)/R4 sein

Damit dies funktioniert, muss Folgendes zutreffen:

R3//R4=R2 <- Das Thevinin-Äquivalent von R3//R4 muss gleich dem ursprünglichen R2 sein

R5//R6=Rf <- Das Thevinin-Äquivalent von R5//R6 muss gleich dem ursprünglichen Rf sein

R3/R4=R5/R6 <- Die beiden Spannungsteiler müssen den Ausgang um den gleichen Betrag teilen.

Nun können R6 und Ri natürlich kombiniert werden, aber zum Verständnis der Schaltung habe ich sie getrennt gelassen.

Wenn ich Sie wäre, würde ich mich für den "Einheitsverstärkungs" -Typ entscheiden und dann tun, wie ich es beschrieben habe, indem ich R3 = R4 verwende, um die Ausgabe um 2 zu verstärken, um A v ₌ 2 zu erhalten

BEARBEITEN:

Ich folgte dem Beispiel im Buch für einen Unit-Gain-Typ, wählte 1 kHz Cutoff und simulierte ihn in LT-Spice mit den Ergebnissen, die ich für die Widerstände und Kappen erhielt. Hier ist ein Screenshot der Simulation in LT-Spice, der Cutoff bei 1 kHz, 0 dB In-Band-Gain und Butterworth-Antwort zeigt;

Ich habe dann die Rückkopplungswiderstände gemäß meinem Vorschlag durch Spannungsteiler ersetzt und die Ergebnisse simuliert. Unten ist ein Screenshot der Simulation in LT-spice mit 6 dB In-Band-Verstärkung, Cutoff bei 1 kHz und Butterworth-Antwort.

Sorry, ich weiß, die Bilder sind schwer zu erkennen.

Vinzent - Ich stimme Ihrer Schlussfolgerung nicht zu, dass wir Butterworth nicht mit einem Gewinn von zwei realisieren können, ohne die Schaltung zu ändern. Natürlich können wir das (siehe meinen Beitrag).
@LvW Ich könnte mich in dieser Schlussfolgerung irren, ich weiß nicht genug über die Mathematik dahinter, um Ihrem Beispiel zu folgen. Ich habe meine Schlussfolgerung nur auf den Kommentar im Buch gestützt. Ich weiß jedoch, dass Sie die Ausgabe so gestalten können, wie ich es am Ende meiner Antwort beschrieben habe, ohne den Filter selbst zu ändern.
@ Vinzent, sollten die Kondensatoren in der oben angegebenen Schaltung nicht in die positive Schiene des Operationsverstärkers gehen?
(3-α)(R3+R4)/R4 scheint bei der Simulation nicht zu gelten, da ich ein perfektes Ergebnis erzielt habe, wobei R£ und R4 beide gleich sind, um parallel 7k (14k und 14k) zu ergeben.
@Rrz "Sollten die Kondensatoren nicht in die positive Schiene des Operationsverstärkers gehen?" Ja, natürlich sollten sie. Ich habe diesen Fehler nicht gesehen, als ich ihn gezeichnet habe. Ich werde es korrigieren, wenn ich auf meinen Computer komme. Sie sagen, dass Sie (3-a) (r3 + r4) / r4 nicht zur Geltung bringen können. Vielleicht könnten Sie ein Diagramm mit Ihren neuen Komponentenwerten und Ihren Messungen bereitstellen? So kann ich besser zum Verständnis beitragen. Ich werde auch versuchen, eine bessere mathematische Begründung zu liefern, warum (r3+r4)/r4 wahr ist.
Sicher werden die Berechnungen bald aktualisiert. In der Zwischenzeit habe ich die Unity-Gain-Schaltung bereitgestellt, die eine korrekte Abschaltung hat. Wie kann (3-a)(r3+r4)/r4 = 2 sein, während r3//r4 = 7k UND r3/r4 =r5/r6, wie Sie vorschlagen?
Da dies Einheitsgewinn r5/r6 = 1 ist, und damit mit dieser Argumentation r3/r4 = 1, was für (3-a)(r3+r4)/r4 = 2 nicht gilt
Der (3-a)-Teil ist die ursprüngliche Verstärkung der Equal-Component-Version. Denken Sie daran, die Verstärkung der Unit-Gain-Version ist natürlich 1, also ist die Gleichung für die Verstärkung der Unit-Gain-Version (kompensiert mit meiner Methode ) ist natürlich nicht (3-a)*(r3+r4)/r4, sondern 1(EINS)*(r3+r4)/r4, was tatsächlich =2 ist, wenn man r3=r4 macht. Ansonsten stimmen deine Berechnungen. Nehmen Sie im Grunde einfach den 7-kOhm-Widerstand in Ihrer Einheitsverstärkungsschaltung und ersetzen Sie ihn durch einen Spannungsteiler, der aus 2 * 14 kOhm besteht, und den gleichen durch den Gegenkopplungswiderstand (den 14-kOhm-Widerstand), und Sie sollten loslegen

LvW · Answer 2

Es gibt eine einfache Lösung für das Problem - beginnend mit der allgemeinen Übertragungsfunktion der Schaltung. Aus dieser Funktion können wir die folgenden Ausdrücke für einen idealen Operationsverstärker ableiten ...

Polfrequenz:

ω_{P} = \frac{1}{R_{2} C_{1} \sqrt{k_{R} k_{C}}}

$\omega_p=\frac{1}{R_2C_1\sqrt{k_rk_c}}$

Polqualitätsfaktor:

Q_{P} = \frac{\sqrt{k_{R} k_{C}}}{1 + k_{C} + k_{R} k_{C} (1 - v)}

$Q_p = \frac{\sqrt{k_rk_c}}{1+k_c+k_rk_c(1-v)}$

Wo $k_r = R_1/R_2 \quad k_c = C_2/C_1 \quad v = 1+\frac{R_4}{R_3}$ .

Diese Ausdrücke können einstellungsausgewertet werden $v=2$ Und $R_3 = R_4$ . Eine mögliche (einfache) Lösung ist set $k_c = 1$ (dh $C_1 = C_2$ ).

Für diese Bedingung erhalten wir:

Q_{P} = \frac{\sqrt{k_{R}}}{2 - k_{R}}

$Q_p = \frac{\sqrt{k_r}}{2-k_r}$

Für $k_r$ Wir haben eine quadratische Lösung:

k_{R 1, 2} = 2 + \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8 Q_{P}^{2}}}{2 Q_{P}^{2}}

$k_{r1,2} = 2 + \frac{1 \pm \sqrt{1+ 8 Q_p^2}}{2Q_p^2}$

Beachten Sie, dass nur die kleinste Lösung gültig ist (mit dem "-" Zeichen), um sie zu behalten $Q_p$ positiv.

BEARBEITEN:

Die Übertragungsfunktion für die gegebene Hochpassschaltung (erste Form) ist wie folgt (wobei $v = 1+R_4/R_3$ ):

H (S) = N (S) / D (S)

$H(s)=N(s)/D(s)$

N (S) = S^{2} v R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}

$N(s) = s^2 v R_1 R_2 C_1 C_2$

D (S) = 1 + S [R_{2} (C_{1} + C_{2}) + R_{1} C_{2} (1 - v)] + S^{2} R_{1} R_{2} C_{1} C_{2}

$D(s) = 1 + s[R_2(C_1+C_2)+R_1C_2(1-v)]+s^2R_1R_2C_1C_2$

Nun vergleichen wir diese schaltungsspezifische Gleichung mit der allgemeinen Form zweiter Ordnung zur Herleitung der Gleichungen für Verstärkung, Eckfrequenz und Polgüte:

H (S) = N (S) / D (S)

$H(s)=N(s)/D(s)$

N (S) = {(\frac{S}{ω_{P}})}^{2} A_{\infty}

$N(s) = \left(\frac{s}{\omega_p}\right)^2 A_\infty$

D (S) = 1 + \frac{S}{ω_{P} Q_{P}} + {(\frac{S}{ω_{P}})}^{2}

$D(s) = 1 + \frac{s}{\omega_p Q_p} + \left(\frac{s}{\omega_p}\right)^2$

Daher z $s$ Annäherung an unendliche Werte (Hochpassverstärkung) haben wir $H(s) = A_\infty$ .

Vergleicht man beide Formen von $H(s)$ wir gelangen zu den gegebenen Ausdrücken für $\omega_p$ , $Q_p$ , Und $A_\infty=v$ .

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich habe ein Problem mit R3 = R4, da dies die Einheitsverstärkungsversion ist, ohne die Butterwertkoeffizienten zu verwenden. Wird dies immer noch als Butterworth-Antwort betrachtet?
Für eine Butterworth-Antwort brauchen Sie nichts weiter zu tun, als Qp=0,7071 zu setzen. Die Polfrequenz ist in diesem Fall identisch mit der -3dB-Frequenz.
Bitte beachten Sie, dass Sie für R3 = R4 v = 2 haben (und NICHT die Unity-Gain-Version). Darüber hinaus ist klar, dass es viele mögliche Lösungen für den Widerstand bzw. Kondensatorniveaus, da der Qp-Wert nur Widerstands- und Kondensatorverhältnisse erfordert (kr bzw. kc).
Sie benötigen die Butterworth-Koeffizienten nicht, da die angegebene Gleichung sowohl die Polfrequenz als auch die Pol-Q-Werte enthält.
Hmm, muss verwirrt gewesen sein, da das oben aufgeführte Buch, dem ich folge, diese Koeffizienten verwendet und Online-Suchen zeigen, dass sie tatsächlich oft verwendet werden.
Für Butterworth gilt wp=wc (3 dB) - das bedeutet: b1=1. Darüber hinaus enthält der Pol Q Qp=0,7071 den Wert von a1, weil Qp=1/a1. Das heißt: Die Gleichungen enthalten natürlich die Koeffizienten - allerdings in einer anderen, bequemeren Form.
Könnten Sie bitte eine Referenz angeben, woher Sie den oben aufgeführten TF haben, da ich möglicherweise dem falschen gefolgt bin ... Ich würde mich auch freuen, wenn Sie die in der Frage verwendeten Abkürzungen erklären könnten (Beispiel wp ist Polfrequenz). da ich die Abkürzungen nicht kenne. Nicht sicher, was wc ist. Ich werde Ihre Antwort in Kürze annehmen! Danke
Die Frequenz wc ist die 3dB-Eckfrequenz, die durch den Faktor b1 mit der Polfrequenz wp in Beziehung steht: b1=wc/wp. Und für die Butterworth-Antwort haben wir b1=1 (wie zuvor erwähnt).
Das Buch sagt: "Wir sehen, dass Verstärkung und Dämpfung des Filters miteinander verbunden sind. Tatsächlich funktioniert für einen bestimmten Dämpfungsfaktor nur eine bestimmte Verstärkung richtig: A = 3-α" für einen Butterworth-Filter α = sqrt (2) ???
Vinzent - Ihr Kommentar gilt nur für den Fall "gleiche Komponenten" !! Natürlich können wir mit der Gain-of-Two-Version alle Dämpfungswerte realisieren.
Okay, das galt vielleicht nur für den "Equal-Component"-Fall, aber das war der, den er benutzt hatte. Abgesehen davon spricht das Buch nur darüber und die "unit-gain"-Version. Aber Sie haben wahrscheinlich Recht, dass Sie mit einer anderen Konfiguration eine Verstärkung von 2 erzielen können
Ganz einfach: Die angegebenen Gleichungen beweisen, dass es tatsächlich möglich ist.
Übrigens versuche ich, von Ihrer quadratischen Gleichung zum Polynom = 0 mit kr mit b = -1, a = Qp ^ 2 rückwärts zu arbeiten, aber weil Sie +/- in das Quadrat einfügen, ist es für mich unmöglich zu wissen, ob Sie es tun hatte c=2 oder c=-2?. Es fällt mir schwer, die sqrt (kr) / (2-kr) in Polynomform zu bringen, damit ich a, b und c finden kann.
@Vinzent - Aber meine Frage an dich ist: Warum interessieren dich die Koeffizienten a, b, c ? Sie benötigen sie nicht, wenn Sie wp und Qp verwenden. Es ist eine einfache Aufgabe, anhand der von mir genannten Formeln geeignete Teilewerte auszuwählen. Nochmals: Beide Poldaten wp und Qp enthalten indirekt die Koeffizienten a, b und c. Beachten Sie, dass es zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, Filterdaten in Tabellen anzugeben: Entweder mit den Werten a, b, c oder mit wp und Qp. Die letztere Methode wird in den meisten Lehrbüchern berücksichtigt, da wp und Qp sehr einfach gemessen werden können (und a,b,c nicht).
Okay, ich verstehe, ja, das verstehe ich, der einzige Grund, warum ich an den Koeffizienten interessiert war, die Sie für das Quadrat verwendet haben, war, dass ich mich durch Ihre Mathematik gearbeitet habe, um sie zu validieren und zu sehen, was Sie getan haben, und sehen wollte, wie Sie die erhalten haben Lösung für das Quadrat aus Qp=sqrt(kr)/(2-kr)..
...komplexer als nötig? Wenn Sie einen Filter 2. Ordnung entwerfen möchten, müssen Sie zunächst eine geeignete Schaltung auswählen. OK - wurde von Ihnen gemacht. Und dann braucht man für die Teilelemente konkrete Formeln, mit denen sich die gewünschten Werte für wp und Qp realisieren lassen. Das ist alles – und das haben wir getan. Weniger Aktivitäten sind nicht möglich, um zu einer Schaltung mit Teilewerten zu gelangen.

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