Ermittlung der Übertragungsfunktion des Feder-Masse-Dämpfersystems

Question

Ermittlung der Übertragungsfunktion des Feder-Masse-Dämpfersystems

Kontrolle
Physik
Stromspannung
Kontrollsystem
Schaltungsanalyse
Übertragungsfunktion

rrz0

Ich habe das Buch Ogata Modern Control Engineering durchgearbeitet und mehrere Übungen durchgearbeitet, um mein Verständnis der grundlegenden Steuerungsprinzipien zu verbessern. Ich bin auf das folgende Beispiel gestoßen, bei dem ich Schwierigkeiten habe, es zu lösen.

Ich muss mir die Übertragungsfunktion einfallen lassen, die diese Vibrationsvorrichtung modelliert. Die Fragen lauten wie folgt:

In diesem Beispiel analysieren Sie einen Vibrationsprüfstand (Bild 1). Dieses System besteht aus einem Tisch mit der Masse M und einer Spule mit der Masse m. Ein fest mit dem Boden verbundener Dauermagnet sorgt für ein stetiges Magnetfeld. Die Bewegung der Spule 𝑦 durch das Magnetfeld induziert eine Spannung in der Spule, die proportional zu ihrer Geschwindigkeit 𝑦̇ ist, wie in Gl. 1. 𝑒 = 𝛼𝑦̇ [Gl.1]

Der Stromfluss durch die Spule bewirkt, dass sie eine magnetische Kraft erfährt, die proportional zum Strom ist, wie in Gl. 2. 𝐹 = 𝛽𝑖 [Gleichung 2]

Frage: Erhalten Sie eine parametrische Übertragungsfunktion mit Ausgang 𝑥 zu Eingang 𝑉.

Einige Fragen, die ich schwer zu beantworten finde, aber die gesamte TF betreffen, sind:

Wenn K2 und B2 um eine Strecke Z gestaucht werden (bei einer Aufwärtsbewegung
aufgrund der Wechselwirkung der Spule mit dem Magnetfeld), bedeutet dies, dass k1 und b1 um die gleiche Strecke Z verlängert werden?
Wenn msich (Spule) um 2 cm nach oben bewegt, bewegt sich M(Tisch) auch um 2 cm nach oben?

Was ich tun muss:

Erstellen Sie zwei separate Freikörperdiagramme, eines für die Masse M des Tisches und eines für die Masse m der Spule.
Skizzieren Sie einen Schaltplan inklusive Gegen-EMK.
In S-Domäne umwandeln.
Gleichzeitig lösen.

Was ich bisher gemacht habe:

Zeichnen Sie, um Freikörperdiagramme zu trennen und Gleichungen zu extrahieren.
Zeichnen Sie den Schaltplan und extrahieren Sie die Gleichung.
In S-Domain konvertieren.

Mit der MATLAB-Funktion solvehabe ich es geschafft, 2 verschiedene Übertragungsfunktionen 5. Ordnung zu erhalten (eine für jede Methode, die ich unten vorschlage), aber ich bin mir nicht sicher, welche richtig ist und warum.

Gesamtsystem :

Dies ist eine schematische Darstellung, wie die Vibrationsprüfvorrichtung meiner Meinung nach modelliert werden kann, ohne den elektrischen Teil.

Freikörperdiagramm 1 - Tabelle - Aufwärtskonvention

Federn k1und k2Dämpfer b1werden b2separat modelliert . Da sie nicht zusammengefügt und als Einheit betrachtet werden können, sind ihre Komprimierung und Erweiterung getrennt.

Die Aufwärtskraft kommt von k2und b2welche an der Spule befestigt sind. Diese erleben eine Aufwärtsbewegung.

Gleichung in der s-Domäne:

Ms^2X + b1sX + k1X = b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Freikörperdiagramm 2 – Spule – Aufwärtskonvention

Die Spule erfährt eine Kraft nach oben, aber die Feder und der Dämpfer halten sie zurück und wirken somit in die entgegengesetzte Richtung.

Gleichung in der s-Domäne:

Fem = Ms^2Y + b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Die zwei unterschiedlichen Methoden, die oben für die FBD der Tabelle gezeigt werden, führen zu unterschiedlichen Gleichungen im s-Bereich und zu unterschiedlichen Übertragungsfunktionen.

Was ist das richtige Freikörperbild für den Tisch und die Spule?

Lorenzo Donati unterstützt die Ukraine

Gute Frage, aber posten Sie bitte ein Foto, auf dem die Details klar sind, ohne dass wir zum Vergrößern darauf klicken müssen. Diese Minuszeichen sind zB kaum erkennbar. Außerdem wurde die Gleichung unten links teilweise abgeschnitten. Es gibt viel freien Platz auf Ihrem Blatt, um Dinge zu vergrößern. Es gibt viele kostenlose Bildbearbeitungsprogramme im Internet (z. B. IrfanView oder FastSstone ImageViewer), sodass Sie auch mehrere Bilder von Ihren Blättern machen und die benötigten Teile ausschneiden/zuschneiden können, um schöne Bilder zu posten.

rrz0

@LorenzoDonati, danke für den Vorschlag, wird sofort bearbeitet. Die Gleichung unten links ist nicht von Interesse, da es mir um das Freikörperdiagramm geht. Wenn das richtig ist, dann ist die Gleichung richtig. Ich werde jedoch versuchen, entsprechend zu bearbeiten. Vielen Dank für Ihre Rückmeldung.

Lorenzo Donati unterstützt die Ukraine

Versuchen Sie, keine Vermutungen darüber anzustellen, was Sie falsch gemacht haben. Das Posten einer Reihe schön gezeichneter Gleichungen, die Ihrem Gedankengang folgen, zeigt Ihre Bemühungen (und verbessert somit Ihre Frage - gibt ihr mehr Chancen, beantwortet zu werden) und kann auch auf mögliche Fehler hinweisen. Alle relevanten Informationen zu Ihrem vorliegenden Problem könnten für den potenziellen Antwortenden nützlich sein.

Lorenzo Donati unterstützt die Ukraine

Übrigens, wenn Sie mit der LaTeX-Syntax vertraut sind, kann der Frageneditor die "Dollar-Notation" von LaTeX-Formeln verstehen (siehe Online-Hilfe).

rrz0

Danke @LorenzoDonati, ich versuche, die Frage strukturierter und lesbarer darzustellen.

Joe Elektro

Wenn Sie davon ausgehen, dass Tisch und Spule nicht horizontal bleiben, dh dass es einen Freiheitsgrad um die Achse senkrecht zu Ihrem Bild gibt, dann ist die Problemformulierung fehlerhaft, denn wenn dieser Freiheitsgrad bestehen würde , würde es eine Rotationskomponente geben Diese Achse wurde sowohl in den Tisch als auch in die Spule eingeführt. Ich habe das nicht ausgearbeitet, aber angesichts der Komplexität des Problems ist es sehr wahrscheinlich, dass dies zu einer chaotischen (zufälligen) Bewegung führen würde, bei der Energie aus den vertikalen Bewegungen chaotisch mit Rotationsbewegungen von Tisch und Spule ausgetauscht wird.

Joe Elektro

Entschuldigung, ich hätte schreiben sollen: "(not random)". Auch in diesem Fall (ich muss in einem neuen Kommentar fortfahren, da ich 600 Zeichen überschreiten werde) hätten einige horizontale Positionen angegeben werden müssen.

rrz0

@joeelectro, danke für deinen aufschlussreichen Kommentar, aber ich gehe davon aus, dass der Tisch und die Spule horizontal bleiben, da wir durch zwei Aufwärtspfeile (x und y) dargestellt werden, die nur eine horizontale Bewegung darstellen . Außerdem glaube ich, dass der Autor jede Rotationsbewegung erwähnt und auch entsprechend auf dem Diagramm angegeben hätte.

Joe Elektro

Sie haben Recht, ich habe seine beiden Grundannahmen falsch verstanden. Jetzt muss ich wohl meine Kommentare löschen.

rrz0

@joeelectro, ich sehe keine Notwendigkeit dafür, meine Frage war vielleicht nicht klar genug und andere hatten vielleicht die gleichen Gedanken. Noch einmal vielen Dank.

Joe Elektro

Ok. Danke für deinen Tipp und den Hinweis auf meinen Fehler. Übrigens gibt das Bild keinen Hinweis darauf, dass die Vorstellung, dass beide Aussagen wahr sind, gerechtfertigt wäre.

Joe Elektro

Noch allgemeiner ausgedrückt: Das Bild gibt keinen Hinweis darauf, dass eine dieser Aussagen wahr wäre.

Antworten (1)

Ermittlung der Übertragungsfunktion des Feder-Masse-Dämpfersystems

Gute Frage, aber posten Sie bitte ein Foto, auf dem die Details klar sind, ohne dass wir zum Vergrößern darauf klicken müssen. Diese Minuszeichen sind zB kaum erkennbar. Außerdem wurde die Gleichung unten links teilweise abgeschnitten. Es gibt viel freien Platz auf Ihrem Blatt, um Dinge zu vergrößern. Es gibt viele kostenlose Bildbearbeitungsprogramme im Internet (z. B. IrfanView oder FastSstone ImageViewer), sodass Sie auch mehrere Bilder von Ihren Blättern machen und die benötigten Teile ausschneiden/zuschneiden können, um schöne Bilder zu posten.
@LorenzoDonati, danke für den Vorschlag, wird sofort bearbeitet. Die Gleichung unten links ist nicht von Interesse, da es mir um das Freikörperdiagramm geht. Wenn das richtig ist, dann ist die Gleichung richtig. Ich werde jedoch versuchen, entsprechend zu bearbeiten. Vielen Dank für Ihre Rückmeldung.
Versuchen Sie, keine Vermutungen darüber anzustellen, was Sie falsch gemacht haben. Das Posten einer Reihe schön gezeichneter Gleichungen, die Ihrem Gedankengang folgen, zeigt Ihre Bemühungen (und verbessert somit Ihre Frage - gibt ihr mehr Chancen, beantwortet zu werden) und kann auch auf mögliche Fehler hinweisen. Alle relevanten Informationen zu Ihrem vorliegenden Problem könnten für den potenziellen Antwortenden nützlich sein.
Übrigens, wenn Sie mit der LaTeX-Syntax vertraut sind, kann der Frageneditor die "Dollar-Notation" von LaTeX-Formeln verstehen (siehe Online-Hilfe).
Danke @LorenzoDonati, ich versuche, die Frage strukturierter und lesbarer darzustellen.
Wenn Sie davon ausgehen, dass Tisch und Spule nicht horizontal bleiben, dh dass es einen Freiheitsgrad um die Achse senkrecht zu Ihrem Bild gibt, dann ist die Problemformulierung fehlerhaft, denn wenn dieser Freiheitsgrad bestehen würde , würde es eine Rotationskomponente geben Diese Achse wurde sowohl in den Tisch als auch in die Spule eingeführt. Ich habe das nicht ausgearbeitet, aber angesichts der Komplexität des Problems ist es sehr wahrscheinlich, dass dies zu einer chaotischen (zufälligen) Bewegung führen würde, bei der Energie aus den vertikalen Bewegungen chaotisch mit Rotationsbewegungen von Tisch und Spule ausgetauscht wird.
Entschuldigung, ich hätte schreiben sollen: "(not random)". Auch in diesem Fall (ich muss in einem neuen Kommentar fortfahren, da ich 600 Zeichen überschreiten werde) hätten einige horizontale Positionen angegeben werden müssen.
@joeelectro, danke für deinen aufschlussreichen Kommentar, aber ich gehe davon aus, dass der Tisch und die Spule horizontal bleiben, da wir durch zwei Aufwärtspfeile (x und y) dargestellt werden, die nur eine horizontale Bewegung darstellen . Außerdem glaube ich, dass der Autor jede Rotationsbewegung erwähnt und auch entsprechend auf dem Diagramm angegeben hätte.
Sie haben Recht, ich habe seine beiden Grundannahmen falsch verstanden. Jetzt muss ich wohl meine Kommentare löschen.
@joeelectro, ich sehe keine Notwendigkeit dafür, meine Frage war vielleicht nicht klar genug und andere hatten vielleicht die gleichen Gedanken. Noch einmal vielen Dank.
Ok. Danke für deinen Tipp und den Hinweis auf meinen Fehler. Übrigens gibt das Bild keinen Hinweis darauf, dass die Vorstellung, dass beide Aussagen wahr sind, gerechtfertigt wäre.
Noch allgemeiner ausgedrückt: Das Bild gibt keinen Hinweis darauf, dass eine dieser Aussagen wahr wäre.

Joe Elektro · Answer 1

Einleitung

M und m haben nur einen Freiheitsgrad; beide können sich nur vertikal bewegen. Die Magnetkraft wirkt direkt auf den Magneten m, nicht auf die Masse M.

Um das Bild etwas zu entmystifizieren, könnte es hilfreich sein, sich den Magneten auf der anderen Seite des Tisches vorzustellen. Das Bild wurde in LTSPICE gezeichnet , und das hat keine Pfeile. Die nächste Annäherung an einen Pfeil ist also der Ausgangsstift, und da diese nur horizontal nach rechts zeigen können, wird das gesamte Bild gedreht $90^o$ Nach rechts. Aus dem gleichen Grund zeigen die Pfeile '-y' und '-F' nach rechts, während ich die Pfeile 'y' und 'F' gerne nach links gezeichnet hätte. Weiter das Recht $b_1$ sollte lesen $b_2$ .

Elektromagnetisch angeregter Schwingtisch

Jetzt ist klar, dass dies eine Reihenschaltung von Massen mit dynamischen Elementen dazwischen ist, also beginnen wir, die Bewegungsgleichungen von rechts nach links aufzuschreiben, beginnend mit der elektrischen Gleichung für m zuerst, die V, y und F enthalten wird.
Danach schreiben wir die Bewegungsgleichung für m und für M.
Da M nicht von einer magnetischen Kraft beeinflusst wird, ergibt diese letzte Gleichung y als Funktion von x, die in der ersten Gleichung verwendet wird, um x in Beziehung zu setzen v.

Elektrisch

Die Magnetkraft und die Bewegung des Magneten sind über die Spannung an der Spule gekoppelt. Und weil

e = a \dot{j}, F = β ich, v - e = R ich + L \dot{ich}

$e=\alpha \dot y \, , \, F=\beta i \, , \, V- e=Ri+L \dot i$ und unter der Annahme, dass L unabhängig von y ist, haben wir

v - e = v - a \dot{j} = R ich + L \dot{ich} = \frac{R}{β} F + \frac{L}{β} \dot{F}

$V-e = V - \alpha \dot y = R i + L \dot i = \frac{R}{\beta}F+\frac{L}{\beta}\dot F$

Jetzt haben wir $y$ bezüglich $F$ (und $V$ ), und wir können die Bewegungsgleichungen schreiben, indem wir alle Kräfte auf die sich bewegenden Objekte addieren und sie (per Gesetz) auf Null zwingen.

Der Magnet

F + m \ddot{j} + b_{2} (\dot{j} - \dot{x}) + k_{2} (j - x) = 0

$F+m \ddot y + b_2 \left(\dot y - \dot x \right) +k_2 \left(y-x \right) =0$ Wir können die obige Beziehung zwischen F und y im s-Bereich lösen

v - a \dot{j} = v (s) - a s j = (R + L s) ich = (R + L s) F / β

$V-\alpha \dot y = V(s)-\alpha s y = \left(R+Ls\right) i = \left(R+Ls\right)F/\beta$ und deshalb

F = \frac{β}{R + L s} (v (s) - a s j)

$F=\frac{\beta}{R+Ls}\left(V(s)-\alpha s y\right)$ Die Summe der Kräfte auf den Magneten ist Null, also (und zur Lesbarkeit sind die Positionen noch nicht in den s-Bereich transformiert)

\frac{β v (s)}{R + L s} - \frac{a β}{R + L s} s j + m \ddot{j} + k_{2} (j - x) + b_{2} (\dot{j} - \dot{x}) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+m\ddot y +k_2\left(y-x\right) + b_2\left(\dot y-\dot x\right)=0$ Nach Transformation in den s-Bereich sieht diese Gleichung so aus

\frac{β v (s)}{R + L s} - \frac{a β}{R + L s} s j + m s^{2} j + k_{2} (j - x) + b_{2} s (j - x) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+ms^2 y +k_2\left(y-x\right) + b_2s\left( y- x\right)= 0$ Nach Umgruppierung wird dies

m s^{2} j + (b_{2} - \frac{a β}{R + L s}) s j + k_{2} j - b_{2} s x - k_{2} x = - \frac{β v (s)}{R + L s}

$ms^2y+\left(b_2-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}\right)sy +k_2y -b_2sx - k_2x =-\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$ Isolieren

x

$x$ und

y

$y$ wir bekommen

(m s^{2} + b_{2} s - \frac{a β s}{R + L s} + k_{2}) j - (b_{2} s + k_{2}) x = - \frac{β v (s)}{R + L s}

$\left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right)y-\left(b_2s+k_2\right)x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

Der bewegliche Tisch

Für den beweglichen Tisch gilt die maßgebende Gleichung

M \ddot{x} + k_{1} x + b_{1} \dot{x} + k_{2} (x - j) + b_{2} (\dot{x} - \dot{j}) = 0

$M\ddot x +k_1x+b_1\dot x +k_2\left(x-y\right)+b_2\left(\dot x-\dot y\right)=0$ Nach Transformation in den s-Bereich sieht diese Gleichung so aus

M s^{2} x + k_{1} x + b_{1} s x + k_{2} (x - j) + b_{2} s (x - j) = 0

$Ms^2 x +k_1x+b_1s x +k_2\left(x-y\right)+b_2s\left( x- y\right)=0$ Nach Umgruppierung wird dies

- b_{2} s j - k_{2} j + M s^{2} x + (b_{1} + b_{2}) s x + (k_{1} + k_{2}) x = 0

$-b_2sy -k_2y +Ms^2x +\left(b_1+b_2\right)sx +\left(k_1+k_2\right)x =0$ Isolieren

x

$x$ und

y

$y$ wir bekommen

- (b_{2} s + k_{2}) j + {M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}} x = 0

$- \left( b_2s+k_2 \right) y + \lbrace Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2 \rbrace x = 0$ Schreiben Sie diese Gleichung um, um y in Abhängigkeit von x zu erhalten.

j = \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} x

$y = \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2}x$

Ensemble

Stellen $y=f(x)$ von oben in die Beziehung zwischen $x$ , $y$ und $V$ zum Magneten:

[(m s^{2} + b_{2} s - \frac{a β s}{R + L s} + k_{2}) \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} - (b_{2} s + k_{2})] x = - \frac{β v (s)}{R + L s}

$\left[ \left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right) \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2} - \left( b_2s+k_2 \right) \right] x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

Wenn wir beide Seiten der Gleichung mit multiplizieren $R+Ls$ wir bekommen

[{(R + L s) (m s^{2} + b s + k_{2}) - a β s} \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})}{b_{2} s + k_{2}} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})] x = - β v (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \frac{Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)}{b_2s+k_2}-(R+Ls)(b_2s+k_2)\right]x = -\beta V(s)$

Als nächstes multiplizieren wir beide Seiten mit $b_2s+k_2$ und bekomme

[{(R + L s) (m s^{2} + b s + k_{2}) - a β s} {M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})^{2}] x = - (b_{2} s + k_{2}) β v (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \lbrace Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)\rbrace - (R+Ls)(b_2s+k_2)^2 \right]x = - (b_2s+k_2) \beta V(s)$

Aus der visuellen Betrachtung folgt, dass wir eine Übertragungsfunktion erwarten können $x(s)/V(s)$ mit einer maximalen Ordnung von 1 im Zähler und von 5 im Nenner. Es ist möglich, dass sich eine Null mit dem einen Pol aufhebt, aber das ist spekulativ und würde ein weiteres Umschreiben erfordern, um dies herauszufinden.

Kommentare sind nicht für längere Diskussionen gedacht; diese Konversation wurde in den Chat verschoben .

Ermittlung der Übertragungsfunktion des Feder-Masse-Dämpfersystems

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Gesamtsystem :

Freikörperdiagramm 1 - Tabelle - Aufwärtskonvention

Freikörperdiagramm 2 – Spule – Aufwärtskonvention

Lorenzo Donati unterstützt die Ukraine

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Joe Elektro

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Joe Elektro

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Antworten (1)

Joe Elektro

Einleitung

Elektrisch

Der Magnet

Der bewegliche Tisch

Ensemble

David Tweed

Zustandsmodelldarstellung des RLC-Netzwerks

Einschwingzeit von über- und kritisch gedämpften Systemen

Degeneriertes Schaltungskonzept und seine theoretischen und praktischen Implikationen

Stabilität in Regelungstheorie und Elektronik

Übertragungsfunktionen mit Konstantspannungsquellen darin?

Wie können wir die Übertragungsfunktion dieses n/w finden

Reduzieren der Reihenfolge der Übertragungsfunktion unter Beibehaltung der gleichen Reaktion

Wie kann man die Einschwingzeit eines überdämpften Systems abschätzen?

Systemantworttypen

Wie berechnet man die Anfangsspannung in einem einfachen Stromkreis?