Einschwingzeit von über- und kritisch gedämpften Systemen

TL;DR: NEIN, Sie können die Formel für die unterdämpfte Einschwingzeit nicht verwenden , um die Einschwingzeit eines überdämpften Systems herauszufinden. Und Sie können es auch nicht für ein kritisch gedämpftes System verwenden.

LANGFORM-Antwort folgt...

---

Kritisch gedämpftes Gehäuse

Für den kritisch gedämpften Fall ($\zeta=1$), ist die Sprungantwort:

$$v_{out}(t) = H_0 u(t) \lbrack 1 - (1+\omega_0 t) e^{-\omega_0 t} \rbrack$$

Wenn wir die Einschwingzeit definieren$T_s$unter Verwendung des gleichen Kriteriums "innerhalb von 2 % des endgültigen Ansprechens", dann:

$$0.02 = (1+\omega_0 T_s) e^{-\omega_0 T_s}\\ $$

Numerisch auflösen nach$\omega_0 T_s$(indem wir einfach den Solver von Excel verwenden) erhalten wir:

$$T_s \approx \frac{5.8335}{\omega_0}$$

---

Überdämpftes Gehäuse

Für den überdämpften Fall ($\zeta>1$), ist die Sprungantwort:

$$v_{out}(t) = H_0 u(t) \left[ 1 - \frac{s_2}{s_2-s_1}e^{s_1 t} - \frac{s_1}{s_1-s_2}e^{s_2 t} \right]$$

Wo$s_1, s_2$sind die reellen Wurzeln des Nenners der Übertragungsfunktion:

$$s_1 = -\zeta \omega_0 + \omega_0 \sqrt{\zeta^2-1} \\ s_2 = -\zeta \omega_0 - \omega_0 \sqrt{\zeta^2-1}$$

Der Einfachheit halber definieren wir:

$$\begin{align} \Delta &= \frac{s_2-s_1}{2} = - \omega_0 \sqrt{\zeta^2-1} \\ \Sigma &= \frac{s_1+s_2}{2} = - \zeta \omega_0 \\ K &= \frac{\Sigma}{\Delta} = \frac{\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}} \end{align}$$

So dass:

$$\begin{align} s_1 &= \Sigma-\Delta \\ s_2 &= \Sigma+\Delta \end{align}$$

Wenn wir die Einschwingzeit definieren$T_s$unter Verwendung des gleichen Kriteriums "innerhalb von 2 % des endgültigen Ansprechens", dann:

$$\begin{align} 0.02 &= \frac{s_2}{s_2-s_1} e^{s_1 T_s} + \frac{s_1}{s_1-s_2} e^{s_2 T_s} = \\ &= \frac{\Sigma + \Delta}{2 \Delta} e^{(\Sigma - \Delta) T_s} - \frac{\Sigma - \Delta}{2 \Delta} e^{(\Sigma + \Delta) T_s} = \\ &= \frac{e^{\Sigma T_s}}{\Delta} \left[ \frac{\Sigma+\Delta}{2} e^{-\Delta T_s} - \frac{\Sigma-\Delta}{2} e^{\Delta T_s} \right] = \\ &= \frac{e^{\Sigma T_s}}{\Delta} \left[ \frac{\Delta}{2} \left( e^{\Delta T_s} + e^{-\Delta T_s} \right) - \frac{\Sigma}{2} \left( e^{\Delta T_s} - e^{-\Delta T_s} \right) \right] = \\ &= \frac{e^{\Sigma T_s}}{\Delta} \left[ \Delta \cosh{(\Delta T_s)} - \Sigma \sinh{(\Delta T_s)} \right] = \\ &= e^{K \Delta T_s} \left[ \cosh{(\Delta T_s)} - K \sinh{(\Delta T_s)} \right] = \\ &= e^{-K |\Delta| T_s} \left[ \cosh{(-|\Delta| T_s)} - K \sinh{(-|\Delta| T_s)} \right] \end{align}$$

Und schlussendlich:

$$0.02 = e^{-K |\Delta| T_s} \left[ \cosh{(|\Delta| T_s)} + K \sinh{(|\Delta| T_s)} \right] \\ $$

Nun, da wir den Ausdruck in Begriff von umgeschrieben haben$|\Delta| T_s$Und$K$(statt im Sinne von$s_1$Und$s_2$), können wir numerisch auflösen$|\Delta| T_s$, (indem Sie einfach den Solver von Excel verwenden) für jede beliebige Angabe$\zeta>1$.

Beispiel 1: ein mäßig überdämpftes System mit$\zeta = 1.1$. Daher$K = \frac{1.1}{1.1^2-1} \approx 2.4$, und dann numerisch lösen:

$$T_s \approx \frac{3.172}{|\Delta|} = \frac{3.172}{\omega_0 \sqrt{1.1^2-1}} \approx \frac{6.922}{\omega_0}$$

Beispiel 2: Ein stark überdämpftes System mit$\zeta = 5$. Daher$K = \frac{5}{\sqrt{24}} \approx 1.0206$, und dann numerisch lösen:

$$T_s \approx \frac{190.21}{|\Delta|} = \frac{190.21}{\omega_0 \sqrt{24}} \approx \frac{38.827}{\omega_0}$$

---

Es gibt auch eine Näherung für stark überdämpfte ($\zeta \gg 1$) Systeme basierend auf dem dominanten Pol:

$$v_{out}(t) \approx H_0 u(t) \left[ 1 - e^{s_1 t} \right]$$

Wenn wir die Einschwingzeit definieren$T_s$unter Verwendung des gleichen Kriteriums "innerhalb von 2 % des endgültigen Ansprechens", dann:

$$0.02 \approx e^{s_1 T_s}$$

Und:

$$T_s \approx \frac{\ln(0.02)}{s_1} = \frac{-\ln(0.02)}{\omega_0 (\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})}$$

Wir können diese Annäherung mit den exakten Ergebnissen vergleichen, die wir zuvor abgeleitet haben.

Für$\zeta = 5$:

$$T_s \approx \frac{38.725}{\omega_0}$$

Ein Schätzfehler von nur etwa -0,25 %. Wirklich ziemlich gut.

Für$\zeta = 1.1$:

$$T_s \approx \frac{6.096}{\omega_0}$$

Ein Schätzfehler von ca. -12 %. Nicht schlecht wenn man das berücksichtigt$\zeta = 1.1$liegt knapp über dem kritisch gedämpften Gehäuse!.

---

Bonus

Wir können einen generischen Einschwingzeitausdruck für schreiben$\zeta>1$folgendermaßen

$$T_s = \frac{\psi}{\omega_0}$$

Wo$\psi$ist ein Koeffizient , der ungefähr proportional zum Dämpfungsfaktor ist$\zeta$.

Ich habe den Wert von numerisch berechnet$\psi$für eine Reihe von$1<\zeta<9$unter Verwendung des zuvor abgeleiteten Ausdrucks für das Einschwingen innerhalb von 2 % des Endwerts,

$$0.02 = e^{-K |\Delta| T_s} \left[ \cosh{(|\Delta| T_s)} + K \sinh{(|\Delta| T_s)} \right]$$

Dann habe ich (zu Vergleichszwecken) 1) die Näherung des dominanten Pols, 2) eine Polynomregression 3. Ordnung auf meinem numerisch berechneten Datensatz und 3), 4) den relativen Fehler aufgrund dieser beiden Näherungen berechnet.

Hier ist ein Excel-Diagramm mit den Ergebnissen:

Die Einschwingzeit für den unterdämpften Fall ist gut bekannt. Ich werde Lösungen für die anderen beiden Fälle präsentieren (2% Definition):

1. Überdämpft

Die allgemeine Sprungantwort für 2 reale und unterschiedliche Pole$p_1$Und$p_2$Ist:

$$y_s(t)=K\left[1 - \frac{p_2}{p_2-p_1}e^{-p_1t} - \frac{p_1}{p_1-p_2}e^{-p_2t}\right]u(t)$$

Tun$p_2=kp_1$, Wo$k$eine Konstante ist und unabhängig vom Endwert in normalisierter Form geschrieben wird$K$:

$$\frac{y_s(t)}{K}=\left[1 - \frac{k}{k-1}e^{-p_1t} + \frac{1}{k-1}e^{-kp_1t}\right]u(t)$$

Wenn$t=t_s$(Einschwingzeit),$\frac{y_s(t_s)}{K}$ist gleich 0,98, woraus sich ergibt:

$$\frac{k}{k-1}e^{-p_1t_s} - \frac{1}{k-1}e^{-kp_1t_s} = 0.02$$

Diese Gleichung kann mit numerischen Methoden für eine normalisierte Variable gelöst werden$p_1t_s$. Die Lösung kann vereinfacht werden, wenn beispielsweise die Existenz eines dominanten Pols zugelassen wird$p1$, so dass$k \gg 1$. In diesem Fall verschwindet der zweite Term auf der linken Seite schnell und$\frac{k}{k-1}\simeq 1$. Deshalb:

$$e^{-p_1t_s} \simeq 0.02$$

Auflösen für$p_1t_s$:

$$p_1t_s \simeq 3.91$$

oder

$$t_s \simeq \frac{3.91}{p_1}$$

Unter Verwendung der 5%-Definition:$t_s \simeq\frac{3}{p_1}$

2. Kritisch gedämpft

In diesem Fall lautet die normalisierte Antwort:

$$y_s(t)= K \left[ 1 - (1 + p_1t)e^{-p_1t}\right]$$

So:

$$\frac{y_s(t)}{K}= 1-\left( 1 + p_1t \right)e^{-p_1t}$$

Mit Eingewöhnungszeit$t_s$(2% Definition):

$$0.02 = (1+p_1t_s)e^{-p_1t_s}$$

Diese Gleichung kann mit numerischen Methoden für eine normalisierte Variable gelöst werden$p_1t_s$. Mit Newton-Raphson bekam ich:

$$p_1t_s \simeq 5.83$$

oder

$$t_s \simeq \frac{5.83}{p_1}$$

In ähnlicher Weise unter Verwendung der 5%-Definition:$t_s \simeq\frac{4.74}{p_1}$

Nein, Sie können nicht dieselbe Formel verwenden. Der Grund dafür ist, dass Sie beim Wechseln der Pole auch die Einschwingzeit ändern. Wenn Sie die Gleichungen für eine Sprungeingabe lösen und sich die Ausgabe ansehen, hat jede Gleichung aufgrund der Pole des Systems unterschiedliche Zeitkonstanten. Siehe hier :

Im kritisch gedämpften Fall ist die Zeitkonstante 1/ω0 kleiner als die langsamere Zeitkonstante 2ζ/ω0 des überdämpften Falls. Folglich ist die Reaktion schneller. Dies ist die schnellste Antwort, die kein Überschwingen und Klingeln enthält.