Systemantworttypen

Wenn Sie ein Impulssignal an ein beliebiges LTI-System anlegen, erhalten Sie tatsächlich eine „Impulsantwort“. Wenn die Eingabe in das LTI-System ein Stufensignal ist, wird die von ihm erzeugte Ausgabe in ähnlicher Weise als "Sprungantwort" bezeichnet.

Nun, sampled version of any signal can be represented as the product of original continuous time signal with shifted version of unit impulse signal (Sifting Property). Daher ist die Reaktion des LTI-Systems auf ein beliebiges Eingangssignal nichts anderes als eine Faltung des Eingangssignals und der Impulsantwort des LTI-Systems. Daher ist die Impulsantwort praktisch sehr wichtig. Aus diesem Grund fragen sie normalerweise nach der Impulsantwort des LTI-Systems.

Für mathematische Details können Sie sich dies ansehen .

Ich finde den Link zur dsp SE sehr gut. Die Mathematik zur vollständigen Erklärung des kontinuierlichen Falls ist etwas heikel, daher ist es wahrscheinlich am besten, nur die Hauptideen zu verstehen.

Angesichts Ihrer zweiten Frage im Kommentar wollte ich jedoch etwas kurzes schreiben, das in den anderen Beiträgen nicht erwähnt wurde.

Lassen Sie uns zunächst die Terminologie überprüfen:

Lassen$H$Ihr LTI-System sein. Das heißt, wir geben Funktionen ein$H$Und$H$gibt Funktionen zurück. Wir schreiben dies als$H(f(t))(T) = H(f)(T)$. Es hat zwei Hauptmerkmale, die durch den Namen gegeben sind.

Zeitinvarianz: $H(f(t+\tau)) = H(f)(T + \tau)$

Linearität: $H(af(t)+bg(t)) = aH(f)(T)+bH(g)(T)$

Die Zeitbereichsübertragungsfunktion von$H$ist als (eindeutige) Funktion definiert$h(t)$so dass für alle mathematisch geeigneten Funktionen$f(t)$wir haben

Nehme an, dass$u_0(t)$bezeichnet die Einheitssprungfunktion at$0$und wir wissen es$H(u_0)(T) = y(T)$. Durch die Zeitinvarianz kennen wir die Antwort auf die Sprungfunktion$u_\tau(t)$(die Einheitsschrittfunktion, bei der der Schritt zu einem Zeitpunkt auftritt$\tau$) Ist$y(T-\tau)$. Durch Linearität, wenn$\tau_1 < \tau_2$wir kennen die Reaktion auf ihren Unterschied$u_{\tau_1}(t) - u_{\tau_2}(t) = u_{[\tau_1,\tau_2]}$Ist$y(T-\tau_1)-y(T-\tau_2)$.

Zusammenfassend, bei einem beliebigen Intervall$I=[\tau_1,\tau_2]$wir wissen$H(u_{[\tau_1,\tau_2]})(T)$. Gegeben jede mathematisch geeignete Eingabe$f(t)$(sagen wir eine Sägezahnwelle) das wissen wir$f(t)$wird durch Funktionen der Form angenähert

Also durch Linearität die Reaktion auf Eingaben$f(t)$wird angenähert durch

Und um die Antwort von Yuvi zu erweitern, ist die Sprungantwort wichtig, da die Einheitsschrittfunktion das Integral der Einheitsimpulsfunktion ist. In der realen Welt ist es einfacher, eine Sprungfunktion als eine Impulsfunktion zu generieren, daher wird dies zum Messen tatsächlicher Systeme verwendet. Wenn Sie die Beziehung zwischen den beiden kennen, ist es einfach, die Systemimpulsantwort aus ihrer Sprungantwort abzuleiten, und dann können Sie die Antwort auf jeden anderen Stimulus leicht aus der Impulsantwort ableiten.

Um die Antworten von Yuvi und Dave zu ergänzen, ist die Übertragungsfunktion des Systems nichts anderes als die Fourier-Transformation der Impulsantwort. Daher repräsentieren diese das grundlegende Verhalten des Systems im Frequenz- bzw. Zeitbereich.

Impulsive Reaktion:

• Da die Laplace-Transformation 1 ist, ist die Impulsantwort im Frequenzbereich nur die Übertragungsfunktion Ihres Modells.
• macht es einfach, eventuelle Antwortverzögerungen abzuschätzen.

Sprungantwort:

• Wie bereits von einem anderen Benutzer hervorgehoben, kann angesichts der praktischen Unmöglichkeit (in kontinuierlichen Systemen, nicht in diskreten), den Impuls zu erzeugen, die Sprungantwort (deren Transformation ein reiner Integrator ist) zur Schätzung der Impulsantwort verwendet werden. In der Praxis ist es jedoch besser, das Modell direkt mit anderen Systemidentifikationsansätzen zu identifizieren;
• Die Analyse der Antwort gibt viele nützliche Einblicke in das System, insbesondere während der Tests. Von dort aus können Sie den Spitzenwert (maximale Verstärkung im Bode-Magnitudendiagramm) erhalten, die Reaktionsverzögerung durch Inspektion abschätzen, die Hauptzeitkonstante abschätzen, ihren Dämpfungskoeffizienten abschätzen und eventuelle Leistungsanforderungen bewerten.

In Wirklichkeit werden Sie jedoch nicht „immer gebeten“, diese Antworten herauszufinden, sondern vielmehr, um ein gewisses Maß an Leistung zu garantieren oder ein gutes Steuerungssystem zu entwerfen.

Bei Referenzverfolgungsproblemen glaube ich, dass Rampen und Parabeln, aber auch Sinus und alles, was die reale Welt erfordern könnte, ebenfalls wichtig sein könnte, um die Leistung des Systems zu bewerten.

Für Systemidentifikationszwecke könnte ein dauerhaft anregendes Signal (wie PRBS) besser sein als ein Schritt, und ein Frequenz-Sweep könnte Ihnen interessantere Einblicke in den Frequenzgang des Systems geben.

Für die PID-Abstimmung ist die Sprungantwort nützlich, da es viele Faustregeln gibt, die ihre Antwort erfordern.

Usw.