Warum haben zwei Übertragungsfunktionen einer Schaltung den gleichen Nenner?

Die Wurzeln des Nenners (die Pole) hängen von den natürlichen Zeitkonstanten des Netzwerks ab. Diese Zeitkonstanten hängen nicht vom Anregungssignal ab, sondern nur von der Netzwerkstruktur, die sich ergibt, wenn die Anregung auf 0 (0 V oder 0 A) reduziert wird. Wenn Sie in Ihrem Beispiel die Übertragungsfunktion vom Eingang (Stimulus) zum Ausgang (Antwort) bestimmen, ist die Erregung eine Spannungsquelle ($V_{in}$), während die Antwort eine Spannung ist, die über gesammelt wird$R_{load}$. Um die Zeitkonstanten dieses Systems zu bestimmen, müssen Sie die Erregung auf 0 V reduzieren oder ersetzen$V_{in}$durch einen Kurzschluss. Trennen Sie dann die Kondensatoren vorübergehend und bestimmen Sie den Widerstand, den ihre Anschlussklemmen in dieser Konfiguration bieten. Sie haben 3 Zeitkonstanten, und wenn Sie sie zusammenfassen, erhalten Sie$b_1$im Nenner. Dann für$b_2$, werden Sie alternativ Kondensatoren auswählen, die in ihren hochfrequenten Zustand versetzt (durch einen Kurzschluss ersetzt) ​​werden, während Sie den Widerstand „betrachten“, den die anderen Kondensatoren bieten. Das Summieren dieser neuen Zeitkonstanten führt zu Produkten$b_2$. Gleich für$b_3$in dem zwei Kondensatoren in ihren hochfrequenten Zustand versetzt werden, während Sie durch die Anschlüsse der verbleibenden Kappe "schauen". Die Kombination dieser Begriffe führt zur Bestimmung$D(s)$auf schnelle und effiziente Weise. Sieht kompliziert aus, ist es aber nicht: Hier können Sie nachsehen Übertragungsfunktion von drei kaskadierten RC-Filtern? wo ich die schnellen analytischen Techniken oder FACTs anwendete .

Wohin führt uns das in Bezug auf den gemeinsamen Nenner? Nun, die Regel ist einfach. Angenommen, Sie haben Ihre Übertragungsfunktion verknüpft$V_{in}$Zu$V_{out}$. Wenn Sie den Stimulus durch eine 0-V-Quelle oder einen Kurzschluss ersetzt haben, legen Sie die natürliche Struktur des Netzwerks offen, das ursprüngliche Netzwerk, in dem die Erregung ausgeschaltet ist (0 V oder 0 A). Wenn Sie nun eine neue Übertragungsfunktion bestimmen, indem Sie einen anderen Stimulus auswählen, dann wenn das Reduzieren des Stimulus auf 0 das Netzwerk wieder in seine 1. Architektur bringt, dann ist der Nenner derselbe wie der, den Sie bereits bestimmt haben. Wenn durch Reduzieren auf 0 die neue Erregung das Netzwerk in eine neue Struktur verwandelt, dann ist der neue Nenner nicht mehr der von Ihnen abgeleitete.

Schauen Sie sich das Bild an, das aus einem Tutorial stammt, das hier verfügbar ist :

Das sieht man, wenn ich mich umdrehe$V_{in}$ausschalten und im ersten Fall auf 0 V reduzieren oder wenn ich im zweiten Fall die Stromquelle ausschalte (auf 0 A reduzieren oder Stromkreis öffnen), kehrt die Struktur des Netzwerks immer zur linksseitigen Anordnung zurück: die Die obere Übertragungsfunktion und die Ausgangsimpedanz-Übertragungsfunktion unten haben einen gemeinsamen Nenner.

Betrachten Sie nun den nächsten Fall:

Im ersten Fall kann ich verschiedene Übertragungsfunktionen bestimmen, die die überall gesammelte Antwortspannung mit verknüpfen$V_{in}$, ist die Netzwerkstruktur in diesem System 1. Ordnung unverändert, wenn der Stimulus abgeschaltet ist: alle$D(s)$dieser Übertragungsfunktionen werden ähnlich sein. Nehmen Sie nun in 3a an, dass ich das Anregungssignal quer injiziere$r_C$oder ich füge eine Stromquelle (als Stimulus) in Reihe mit ein$R_1$, dann können Sie sehen, dass das Netzwerk nicht in seinen natürlichen Standardzustand zurückkehrt, wenn diese Quellen auf 0 V oder 0 A (offener Stromkreis) geschaltet werden: Die Nenner sind nicht dieselben.

Eine einfache und klare Antwort auf Ihre Frage lautet wie folgt:

• Injizieren Sie einen Testimpuls in die Schaltung und Sie werden feststellen, dass alle Ströme und Spannungen innerhalb der Schaltung die gleiche Abfallrate in Form einer Exponentialfunktion haben. Ich denke, es ist offensichtlich, dass dies im Zeitbereich passieren wird, weil alle Spannungen und Ströme innerhalb der Schaltung miteinander zusammenhängen.

• Im Frequenzbereich wird diese Abklingrate durch das Pol-Q (Gütefaktor der Pollage des Systems) bestimmt. Wenn man erkennt, dass die Pole einer Funktion durch den Nenner der Funktion bestimmt werden, ist es klar, dass alle Funktionen innerhalb der Schaltung die gleiche Polposition haben werden – also den gleichen Nenner.

• Der Nenner einer Systemfunktion ist identisch mit der linken Seite der charakteristischen Gleichung (char. Polynom), die die Lösung der Differentialgleichungen im Zeitbereich darstellt. Diese Diff. Gleichungen müssen die gleichen Zeiteigenschaften haben, da alle Spannungen und Ströme innerhalb der Schaltung miteinander in Beziehung stehen.

Ich hoffe, diese Erklärung hilft.