Laplace-Transformation und die Idee der Frequenzbereichsanalyse

Das Anlegen einer sinusförmigen Eingabe an z. B. ein stabiles SISO-LTI-System erzeugt eine Ausgabe mit einer transienten Komponente und einer stationären Komponente. Der Transient tut, was alle Transienten tun – er klingt nach einer bestimmten Zeit auf Null ab. Die stationäre Komponente ist eine Sinuswelle mit der gleichen Frequenz wie die Eingangssinuskurve, aber im Allgemeinen mit einer anderen Amplitude und auch einer Phasenverschiebung relativ zum Eingang

Es stellt sich heraus (siehe zahlreiche Referenzen), dass die stationäre sinusförmige Antwort (oder „Frequenzantwort“) aus der Systemübertragungsfunktion durch einfache algebraische Substitution erhalten werden kann:$\small s\rightarrow j\omega$. Und daher ist der Frequenzbereich vom S-Bereich aus extrem zugänglich. Der Zeitbereich ist beispielsweise nicht annähernd so einfach zugänglich, da er die inverse Laplace-Transformation erfordert.

Um Ihr Beispiel zu verwenden, wenn ein System TF hat$\small G(s)=\large \frac{1}{s}$, wäre die Verstärkung im Frequenzbereich und der Phasenwinkel:$\frac{1}{\omega}$Und$\small -\frac{\pi}{2}$, bzw.

Aus einer Signal- und nicht aus einer Systemperspektive ist das Einheitsschrittsignal,$\small H(t)$, hat die gleiche LT wie das obige System, nämlich:$\small H(s)=\large \frac{1}{s}$, und im Frequenzbereich wird dies auf das positive Spektrum abgebildet$\small H(j\omega)=\large\frac{1}{j\omega}$, und hat eine Amplitude$\frac{1}{\omega}$, und einem Phasenwinkel von$\small -\frac{\pi}{2}$relativ zu einer fiktiven Sinuswelle,$\small sin(\omega t)$

Keine harte Argumentation, sondern ein Versuch, es plausibel zu machen:

Die Laplace-Transformation und die Fourier-Transformation sind sehr ähnlich.
Der Unterschied ist nur die Integrationsgrenze und der zusätzliche Faktor$i$(oder wenn Sie es vorziehen$j$). Die Laplace-Transformation ist insofern nur allgemeiner$s$ist komplex.

Für die Fourier-Transformation gehe ich davon aus, dass es offensichtlich ist, warum der "andere" Bereich Frequenzbereich genannt wird. Die kleinen Unterschiede zwischen den beiden rechtfertigen nicht, warum die$s$-Bereich der Laplace-Transformation sollte nicht auch Frequenzbereich genannt werden.

Ähnlich verhält es sich mit der gedämpften Schwingung (z. B. RLC-Kreise), wo auch das Konzept einer komplexen Frequenz verwendet wird, die die „gemeinsame“ Frequenz (Schwingung) und die Dämpfung kombiniert.

Die 2 Hauptformen zur Darstellung eines Systems im Frequenzbereich sind 1) die Foruier-Transformation und 2) die Laplace-Transformation. Laplace ist etwas weiter vorne als Fourier, während Foruier jedes Signal in Form von Sinuskurven darstellt, repräsentiert Laplace jedes Signal in Form von gedämpften Sinuskurven. Der Faktor S = alpha + jw , während Sie in Fourier nur jw haben! Mit anderen Worten, Sie könnten also auch sagen, dass Sie bei Xeta = 0 die Fourier-Antwort von Laplace erhalten haben. Dieses xeta fügt Ihrer bereits vorhandenen Sinuskurve eine Exponentialfunktion hinzu (jw) . Also, was passiert, wenn Sie diese 2 hinzufügen, erhalten Sie eine gedämpfte Sinuskurve. Welchen Vorteil hat das? Die Repräsentation der Betragsantwort in Laplace gibt Ihnen die Pole, die auch die natürliche Antwort des Systems sind! Es gibt Ihnen auch eine Schätzung des Einschwingverhaltens des Systems zusammen mit dem Frequenzgang. Aber für Ihre andere Frage, warum die Sprungantwort 1/S ist, F (s) = (Ganzzahlgrenze 0 bis unendlich) f (t) e ^ (-st) dt. Ersetzen Sie also f(t) = 1, da dies bei einer Stufenfunktion der Fall ist. Sie erhalten die Antwort als 1/S, wobei S=alpha + Jw . Es sagt immer noch nicht, dass der Schritt eine Frequenz hat, es sagt nur, dass es in dieser Form dargestellt wird. Wenn Sie also w = 0 setzen, hat es keine Frequenz. Das ist, was ich denke, es ist nur eine Form der Darstellung des Schrittes.

Aber nehmen Sie zum Beispiel die Laplace-Transformation der Treppenfunktion u(t) = 1 ; t>=0 , was 1 / s ist, die Stufenfunktion hat eine Frequenz von 0 und ich sehe nicht, wie 1 / s ein "Frequenzbereichsäquivalent der Funktion" darstellt.

1/s sagt Ihnen, dass das Spektrum unendlich ist, aber als Kehrwert von s fällt, dh bei S = 10 könnte die Amplitude 0,1 sein, aber bei s = 100 ist die Amplitude 0,01. Hier sind ein paar andere gängige Beispiele (das Step-Change-Szenario ist das vierte nach unten): -

Meine Frage ist eine Art Versuch, die mathematische Idee hinter der Laplace-Transformation vollständig zu verstehen und wie sie sich auf die tatsächlichen physikalischen Eigenschaften der Steuersysteme und die Signale bezieht, die sie antreiben, und ich schätze jeden, der seine/ihre Perspektive teilt.

Ich habe das meiste davon vergessen, aber woran ich mich erinnere, ist, dass es zu viel ist, um es auf dieser Seite zu behandeln.

Die Antwort verbirgt sich in s=jw, wobei w für Omega steht, also etwa Frequenz, j die imaginäre Zahl und s der Laplace s ist