Bedeutung der Übertragungsfunktion in s, die mit einer komplexen Zahl ausgewertet wird

Question

Bedeutung der Übertragungsfunktion in s, die mit einer komplexen Zahl ausgewertet wird

Physik
Kontrollsystem
Laplace-Transformation
Übertragungsfunktion

Bausatz

Aus dem Pol-Null-Diagramm können Sie den Frequenzgang des Systems berechnen, indem Sie einen Ort von Testpunkten entlang des annehmen $j\omega$ Achse.

Abbildung aus: http://web.mit.edu/2.14/www/Handouts/PoleZero.pdf

\begin{aligned} | H (J ω) | & = K \frac{R_{1} \dots R_{M}}{Q_{1} \dots Q_{N}} \\ ∠ H (J ω) & = (ϕ_{1} + \dots + ϕ_{M}) - (θ_{1} + \dots + θ_{N}) \end{aligned}

$\begin{align} |H(j\omega)| &= K \frac{r_1\ldots r_m}{q_1\ldots q_n}\\ \angle H(j\omega) &= (\phi_1 + \ldots + \phi_m) - (\theta_1 + \ldots + \theta_n) \end{align}$

Das heißt, wenn ich stimuliere $H(s)$ mit stationärem Sinuseingang ,

A Sünde ω_{1} T

$A\sin\omega_1t$

am Ausgang bekomme ich

A | H (J ω_{1}) | Sünde (ω_{1} T + ∠ H (J ω_{1}))

$A|H(j\omega_1)|\sin(\omega_1t + \angle H(j\omega_1))$

Frage

Auswerten $H(j\omega)$ bedeutet, dass ich seine Amplituden- und Phasenantwort bekomme, wenn es mit einem stationären sinusförmigen Eingang stimuliert wird

A Sünde ω T

$A\sin \omega t$

Wenn ich bewerte $H(\sigma + j\omega)$ , welche Art von Eingabe bedeutet das? Bedeutet das, dass ich das System mit einer abklingenden Sinuskurve stimulieren würde?

A e^{- σ T} Sünde (ω T + ϕ)

$Ae^{-\sigma t} \sin (\omega t + \phi)$

jonk

σ

$\sigma$ kann entweder positiv oder negativ (oder null) sein. Wenn null, haben Sie nur Rotation, aber die Vektorlänge (Größe) bleibt gleich. Wenn sie negativ ist, nimmt die Vektorlänge mit der Zeit ab und "zerfällt" oder "spiralförmig nach innen", wenn sich der Vektor ebenfalls dreht. Wenn positiv, nimmt die Vektorlänge mit der Zeit zu und "spiralförmig nach außen", da sich der Vektor ebenfalls dreht. (Ein Teil davon, warum "rechte Halbebene" normalerweise keine so gute Sache ist.)

Chu

Wo hast du gesehen

H (σ + j ω)

$H(\sigma + j\omega)$ gebraucht? Es ist bedeutungslos.

LvW

H(σ+jω) = H(s) >> komplexe Übertragungsfunktion (sinnlos?).

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Bedeutung der Übertragungsfunktion in s, die mit einer komplexen Zahl ausgewertet wird

$\sigma$ kann entweder positiv oder negativ (oder null) sein. Wenn null, haben Sie nur Rotation, aber die Vektorlänge (Größe) bleibt gleich. Wenn sie negativ ist, nimmt die Vektorlänge mit der Zeit ab und "zerfällt" oder "spiralförmig nach innen", wenn sich der Vektor ebenfalls dreht. Wenn positiv, nimmt die Vektorlänge mit der Zeit zu und "spiralförmig nach außen", da sich der Vektor ebenfalls dreht. (Ein Teil davon, warum "rechte Halbebene" normalerweise keine so gute Sache ist.)
Wo hast du gesehen $H(\sigma + j\omega)$ gebraucht? Es ist bedeutungslos.
H(σ+jω) = H(s) >> komplexe Übertragungsfunktion (sinnlos?).

LvW · Answer 1

Um Ihre Frage zu beantworten: Ja - die Auswertung der Funktion H(σ+jω) mit der beschriebenen Methode wäre - theoretisch !! - bedeuten, dass der Eingangsreiz ein abfallender oder ansteigender Sinus ist. In der Praxis ist dies jedoch nicht möglich, da Sie niemals einen "stationären" Zustand erhalten werden. Sie würden also unter transienten Bedingungen bleiben - und die Definition einer Übertragungsfunktion ist nicht mehr gültig.

Um die Definition/Berechnung einer Übertragungsfunktion zu ermöglichen, benötigen wir daher stationäre Bedingungen, die nur mit einem kontinuierlichen Sinusreiz erzeugt werden können.

Andi aka · Answer 2

Die "reale Welt" ist entlang der $j\omega$ Achse und, wenn man solche Dinge wie negative Frequenzen ignoriert, ist die messbare Realität vom Ursprung und aufwärts (Frequenz ansteigend). Die vertikale Achse des Pol-Nullpunkt-Diagramms verkörpert die Bode-Plot-Amplitude wie folgt: -

Oben (und unten) ist nur ein Beispiel für einen Tiefpassfilter 2. Ordnung. Wenn Sie auf das obige Diagramm senkrecht nach unten schauen, erhalten Sie die traditionelle Pol-Null-Ansicht: -

Bildquelle .

Im Grunde ist es sinnlos zu analysieren $H$ an einer anderen Stelle als der Achse, die das Bode-Diagramm verkörpert.

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