Überlebenskurven: Die Sterblichkeitsrate der Typ-II-Kurve ist nicht konstant?

$r$ist die individuelle Sterblichkeitsrate pro Zeitschritt. Überlebenskurven (auf einer logarithmischen Skala aufgetragen) zeigen den Anteil der Individuen, die mit der Zeit überleben, und bei einer Typ-II-Kurve stirbt ein konstanter Anteil in jedem Zeitschritt (konstante Sterblichkeit mit dem Alter,$r$). Wenn das Modell ausgedrückt wird als$y$Sie betrachten die Anzahl der Individuen, die bis zu einem Zeitschritt überleben, was für Typ II ein negatives Exponential ist, da bei jedem Zeitschritt ein immer kleinerer Anteil der Bevölkerung übrig bleibt. Deswegen$y'$ist die Änderung (Steigung) in der Anzahl der überlebenden Personen im Laufe der Zeit. Dies kann als Rate angesehen werden, aber es ist nicht die Sterblichkeitsrate von Einzelpersonen, und es ist nicht richtig, sie als ".. reale Sterblichkeitsrate ... " zu beschreiben.

Für eine Einführung in Überlebenskurven können Sie sich auch "Survivorship Curves" von Nature Education ansehen

Für diskrete Zeit

Es gibt zwei Mengen, die Sie nicht verwechseln sollten.

• Eins ist die Anzahl der Personen, die in einem bestimmten Intervall sterben werden:$d_x = N_x - N_{x+1}$.
• Einer ist der Bruchteil der zu Beginn eines bestimmten Intervalls Lebenden, die während des Intervalls sterben werden:$q_x = \frac{d_x}{N_x}$

($N_x$die Anzahl der Überlebenden im Alter$x$.)

Auf einem normalen Grundstück, wenn$d_x$konstant ist, nimmt die Überlebensrate linear ab; wenn$q_x$konstant ist, nimmt die Überlebensrate geometrisch ab. Auf einem Semilog- Plot, wann$q_x$konstant ist, sieht diese geometrische Abnahme wie eine gerade Linie aus. Dies ist, soweit ich weiß, der Hauptgrund, überhaupt Semilog-Plots zu verwenden; es macht die geometrische Abnahme leicht zu erkennen.$d_x$wird manchmal als Todesrate bezeichnet und$q_x$wird manchmal als Sterblichkeitsrate bezeichnet .

(Meiner Meinung nach ist diese Verwendung nachlässig; es sind keine Preise, sondern nur Zahlen. Vergleichen Sie: Es gibt einen Unterschied zwischen dem Fahren von 10 Meilen pro Stunde und dem Fahren mit 10 Meilen pro Stunde.)

$q_x$kann auch als Schätzung der Wahrscheinlichkeit angesehen werden, dass jemand alt ist$x$wird vor dem Alter sterben$(x+1)$. Sie wird daher manchmal auch als „altersspezifische Todeswahrscheinlichkeit“ bezeichnet . Beachten Sie, dass es zwischen 0 und 1 begrenzt ist.

(Wahrscheinlichkeiten können nicht kleiner als 0 oder größer als 1 sein; und der Anteil der Sterbenden muss irgendwo zwischen „keine von ihnen“ und „alle von ihnen“ liegen!)

Hier ist eine Beispiel-Überlebenskurve, auf einem regulären Diagramm, das ich für konstant gemacht habe$q_x = 0.1$.

So viel sollte ausreichen, um Ihre Frage zu beantworten. Aber der Vollständigkeit halber...

Für kontinuierliche Zeit

Ich habe mich über den Anruf beschwert$d_x$die Sterblichkeitsrate. Das liegt daran, dass Kurse eine Einheit von haben$time^{-1}$("... pro Sekunde ", "... pro Stunde " usw.) Natürlich dividieren$d_x$durch die Länge des Intervalls gibt Ihnen die durchschnittliche Sterblichkeitsrate über das Intervall. Und,

• Die Steigung der Überlebenskurve (multipliziert mit -1; wir wollen eine positive Abnahmerate statt einer negativen Anstiegsrate) gibt Ihnen die sofortige Todesrate im Alter$x$:$-N^{'}_{x}$.

(Damit Momentanraten nützlich sind, müssen wir die Überlebenskurve "glätten", anstatt sie zu einer gestuften Kurve zu machen. Wenn sie gestuft wäre, wäre die Steigung einfach immer horizontal oder vertikal.)

Damit kommen wir zu einer weiteren Größe: der „ Macht der Sterblichkeit “:

• Die sofortige, altersspezifische Sterblichkeitsrate pro Kopf ; oder die Sterblichkeitsrate im Alter$x$, dividiert durch die Kohortengröße im Alter$x$:$\mu_x = -\frac{N^{'}_{x}}{N_x}$

Zur Veranschaulichung, ob die Sterberate im Alter liegt$x$ist „ 60 Todesfälle pro Minute “, und wenn es zu diesem Zeitpunkt 60 Menschen gibt, dann ist die Sterblichkeitsrate pro Kopf „ 1 Todesfall pro Person pro Minute “. Da die Wahl der Zeiteinheit willkürlich ist, entspricht dies der Aussage „ 60 Todesfälle pro Person und Stunde “ oder „ 525600 Todesfälle pro Person und Jahr “.

Die Macht der Sterblichkeit ist nicht intuitiv (Sterberate pro Kopf? - aber jeder stirbt nur einmal!), aber die Formel ist kohärent. Der Zweck einer „Pro-Kopf-Rate“ besteht darin, einen Vergleich zwischen Kohorten unterschiedlicher Größe oder derselben Kohorte in verschiedenen Altersgruppen zu ermöglichen, als sie größer oder kleiner war, und so weiter; Im Allgemeinen ist die Idee, dass die Sterblichkeitsrate etwas mit der Anzahl der Mitglieder zu tun hat, aber auch etwas mit dem Zustand jedes Mitglieds und$\mu_x$versucht letzteres zu erreichen. Sie kann als Steigung der Überlebenskurve (multipliziert mit -1, um sie positiv zu machen) geteilt durch die Höhe der Überlebenskurve visualisiert werden.

Es besteht eine Ähnlichkeit zwischen diesen beiden Größen und den beiden, die für diskrete Zeit definiert wurden. Wenn$-N^{'}_{x}$konstant ist, dann ist es auch$d_x$; und wenn$\mu_x$konstant ist, dann ist es auch$q_x$. Und noch einmal: auf einem regulären Grundstück, wenn$-N^{'}_{x}$konstant ist, nimmt die Überlebensrate linear ab; und wenn$\mu_x$konstant ist, nimmt die Überlebensrate exponentiell ab.

Aber sie sind verschieden. Es ist der$time^{-1}$Dimension und die Tatsache, dass Zeiteinheiten austauschbar sind, was den Unterschied ausmacht.

Wenn es nur 60 Menschen sind, dann können natürlich nicht mehr als 60 Menschen im nächsten Jahr sterben$(0 \le d_x \le 60)$; und es ist nicht möglich, dass der Anteil der Sterbenden höher ist als „alle“$(0 \le q_x \le 1)$.

Aber nehmen wir an, die Todesrate beträgt in diesem Moment „ 60 Todesfälle pro Stunde “. Das ist dasselbe wie zu sagen: „ 1 Tod pro Minute “ oder „ 525600 Todesfälle pro Jahr “. Es gibt keine Implikation, dass tatsächlich so viele Menschen sterben werden, weil es keine Implikation gibt, dass die Rate das ganze Jahr über beibehalten wird. Wenn diese bestimmte Sterblichkeitsrate so lange wie möglich konstant gehalten würde, wäre die ganze Kohorte in genau einer Stunde tot und die Rate würde dann 0 erreichen. Die sofortige Sterblichkeitsrate kann so hoch sein, wie Sie möchten; es kann einfach nicht ewig hoch bleiben .

(Wenn eine Todesrate von „ 60 Todesfällen pro Stunde “ zu einem Zeitpunkt gemessen wird, an dem es 60 Menschen gibt, dann ist die Sterblichkeitsrate pro Kopf „ 1 Todesfall pro Person pro Stunde “ – oder äquivalent „$\frac{1}{60}^{th}$eines Todesfalls pro Person und Stunde " oder " 8760 Todesfälle pro Person und Jahr ".)

Obwohl die absolute Sterblichkeitsrate nicht ewig hoch bleiben kann, ist die Sterblichkeitsrate pro Kopf ($\mu_x$) kann . Das passiert während der Konstante$\mu_x$(exponentiell abnehmend$N_x$), zum Beispiel. Der Grund, warum dies nicht paradox ist, ist, dass die Steigung ($-N^{'}_{x}$; der Zähler) nimmt ständig ab; es ist nur so die höhe ($N_x$; der Nenner).

Die Macht der Sterblichkeit$\mu_x$wurde manchmal auch als „ Sterblichkeitsrate “ bezeichnet . Der zweideutige Sprachgebrauch ist bedauerlich. Sie ist auch, insbesondere in der Zuverlässigkeitstechnik, als "Hazard Rate" bekannt.

Übrigens

$q_x$und$\mu_x$sind oft miteinander verschmolzen worden, zumindest in der Gerontologie (mit der ich am besten vertraut bin). Aber sie sind nicht gleich. Die erste schätzt eine Wahrscheinlichkeit und ist zwischen 0 und 1 begrenzt. Die zweite ist keine Wahrscheinlichkeit und hat keine obere Grenze.

Eine Art, wie sie zusammengeführt wurden, ist die „ Gompertz-Gleichung “.

Eine Überlebenskurve vom Typ II ist eine, die exponentiell abnimmt. Wenn dies der Fall ist, beides$q_x$und$\mu_x$sind konstant. Wir würden eine solche Spezies als „nicht alternd“ oder „nicht seneszierend“ bezeichnen: Ihr Alter spielt für Ihre Verwundbarkeit keine Rolle.

Aber viele Arten altern.

Benjamin Gompertz hat dies für viele Arten, einschließlich Menschen, vorgeschlagen$\mu_x$wächst im Erwachsenenalter exponentiell:

• Das Gesetz der Sterblichkeit von Gompertz:$\mu_x = \mu_0 \cdot e^{Gx}$
• Oder in seiner logarithmischen Form:$ln(\mu_x) = ln(\mu_0) + Gx$

(Wo$\mu_0$ist die "Anfangssterblichkeit" und$G$ist der exponentielle "Gompertz-Parameter". In der logarithmischen Form$ln(\mu_0)$ist der Schnittpunkt, und$G$ist die Steigung.)

Ob oder nicht$\mu_x$einem solchen Gesetz auf unbestimmte Zeit folgt, ist eine empirische Angelegenheit. (Es wird tatsächlich diskutiert, ob es sich im Alter verlangsamt, und wenn ja, warum.) Aber beachten Sie das$q_x$konnte unmöglich für immer exponentiell wachsen, seitdem$q_x$1 kann unmöglich jemals überschritten werden. Und doch war es aufgrund der Verschmelzung in letzter Zeit oft in Bezug auf$q_x$dass die Gompertz-Gleichung vorgestellt und diskutiert wurde.

Weiterführende Lektüre

Leider fehlt es meines Wissens nach in der Literatur (sowohl in der Fachliteratur als auch in der Pädagogik) sehr an Behandlungen, die sowohl intuitiv als auch genau sind!

Peter Medawars „The Definition and Measurement of Senescence“ (Kapitel 1 in The CIBA Foundation Colloquia on Ageing, Vol. 1 ) ist wahrscheinlich immer noch die beste Einführung in die Begründung, warum wir uns aus der Perspektive der Biogerontologie um Überlebenskurven und Sterblichkeit kümmern. Medawar gibt die richtige Definition und Formel für$\mu_x$(obwohl er den Unterschied zu nicht betont$q_x$; tatsächlich erwähnt er nicht$q_x$überhaupt).

Die Unterscheidung zwischen$q_x$und$\mu_x$wird in Gavrilov und Gavrilovas The Biology of Life Span: A Quantitative Approach sowie in einigen ihrer Artikel diskutiert. Sie präsentieren die richtige Formel für$\mu_x$, aber versuchen Sie nicht wirklich, es zu erklären.

Dies ist eine statistische Eigenschaft der Kurve - in der Time-to-Event-Analyse (was eine Überlebenskurve ist) ergibt eine konstante Gefahr (die momentane Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in der Zeit t eintritt, vorausgesetzt, es ist noch nicht eingetreten) eine Exponentialverteilung Überlebensfunktion. Auf einer logarithmischen Achse dargestellt, sieht diese Funktion wie eine gerade Linie aus.