Uhr im Gravitationsfeld

Weinberg schreibt in seinem Buch:

Stellen Sie sich eine Uhr in einem beliebigen Gravitationsfeld vor, die sich mit beliebiger Geschwindigkeit bewegt, nicht unbedingt im freien Fall. Das Äquivalenzprinzip sagt uns, dass ihre Geschwindigkeit vom Gravitationsfeld unbeeinflusst bleibt, wenn wir die Uhr von einem lokal inertialen Koordinatensystem aus beobachten ξ a , das Raum-Zeit-Intervall D ξ a zwischen Ticks wird in diesem System durch geregelt

Δ T = ( − η a β D ξ a D ξ β ) 1 / 2 ,

Wo Δ T ist die Zeit zwischen Ticks, wenn die Uhr ohne Gravitation ruht.

Ich verstehe wirklich nicht warum Δ T ist durch die obige Formel gegeben und nicht nur durch Δ T = ξ 0 ( σ ) − ξ 0 ( σ + D σ ) = D ξ 0 D σ D σ , Wo σ parametriert die Weltlinie der Uhr in der ξ Koordinatensystem. Und σ ist der Parameter, bei dem die Weltlinie aus Sicht eines Beobachters in der Region flach aussieht ξ Koordinatensystem.

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Der Grund liegt darin, dass sich die Uhr nicht unbedingt im freien Fall befindet und ihre Geschwindigkeit nicht unbedingt Null ist. Daher könnte die Uhr, wenn sie am Beobachter vorbeigeht, eine räumliche Geschwindigkeit ungleich Null haben. Dies ist die gleiche Situation wie bei der speziellen Relativitätstheorie, wo die richtige Zeit auf der Uhr angezeigt wird τ bezieht sich auf die Zeit des Beobachters T von

D τ 2 = − η μ v D X μ D X v = D T 2 − D X 2 − D j 2 − D z 2
wie im Buch angegeben. Das kann man nicht sagen D T Und D ξ 0 (die entsprechen D τ Und D T hier) sind gleich, was Sie implizit getan haben, als Sie geschrieben haben D τ = ( D τ / D σ ) D σ = ( D T / D σ ) D σ . Sie sind nur dann gleich, wenn sich der Beobachter und die Uhr im selben Rahmen befinden (z. B. wenn der Beobachter die Uhr hält). In diesem speziellen Fall D τ = D T .

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