"Umgekehrtes Problem" für Widerstandsnetzwerke: Angelegte Spannungen finden, um gewünschte Ströme zu erzeugen

Ich arbeite mit einem großen Netzwerk von Widerständen. Hier werde ich meine Frage mit einer verkleinerten Version (5 Widerstände) veranschaulichen.

Der Stromfluss durch jeden der 5 Widerstände wird vollständig durch die Potentiale an jedem der 6 Knoten oder 5 Knoten bestimmt, wenn ich einen erde.

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Ich möchte eine Reihe von Strömen angeben$[i_1, i_2, i_3, i_4, i_5]$und berechnen Sie die erforderlichen Spannungen$[v_1, v_2, v_3, v_4, v_5]$die diese Ströme erzeugen. Da ich fünf unabhängige Knotenspannungen habe, kann ich eine Kombination von Spannungen finden, die jede gewünschte Kombination von fünf Strömen erzeugt - ich fühle mich mit diesem Teil wohl.

Ich interessiere mich für den Fall, in dem ich eine Reihe von Strömen erzeugen möchte$[i_1 ... i_5]$, aber ich kann nur einige der Knotenspannungen einstellen, sagen wir$v_1, v_4,$Und$v_5$. Die anderen Spannungen (dh$v_2$Und$v_3$) werden durch die angelegten Spannungen und die Anordnung der Widerstände bestimmt.

Da ich jetzt nur noch drei unabhängige Spannungsquellen habe, kann ich keine beliebige Kombination von fünf Strömen erzeugen - es wird nur eine Teilmenge möglich sein.

Ich habe drei Fragen:
(1) Wie kann ich feststellen, ob meine gewünschte Stromkombination möglich ist?
(2) Wenn diese Kombination von Strömen möglich ist, wie berechne ich die Kombination von Spannungen, die ich anwenden muss?$v_1, v_4, v_5$?
(3) Wenn die Kombination von Strömen nicht möglich ist, was kann ich am nächsten erreichen, vielleicht im Sinne der kleinsten Quadrate (oder eines anderen relevanten Maßes)?