Verständnis der Sommerfeld-Strahlungsbedingung?

Sowohl Sie als auch Ihr Freund haben teilweise Recht. (Ich habe vor 20 Minuten als dein Freund gedacht)

Lassen Sie mich Sommerfelds Strahlungsbedingung für den 2D-Fall umschreiben (nur als Beispiel, es funktioniert genauso in 3D).

$$\lim_{|\mathbf{x}|\to\infty}\sqrt{|\mathbf{x}|}\left(\frac{\partial u}{\partial|\mathbf{x}|}-iku\right)=0\quad\forall\theta$$

das heißt, die Grenze muss sein$0$wenn man in alle Richtungen ins Unendliche geht.

Wie Sie sagen, wenn die Funktion$u$glatt ist und auf Null geht, dann ist die Grenze erfüllt.

Andererseits hat Ihr Freund vielleicht gedacht, dass der Term zwischen den Klammern im Fall einer ebenen Welle null ist. Dies ist nicht ganz richtig.

In 2D hat eine ebene Welle die Form:

$$u\left(\mathbf{x}\right)=Ae^{ik\mathbf{d}\cdot\mathbf{x}}$$

Sein$A$die Amplitude der Welle,$k$die Wellenzahl (die gleiche wie in der Helmholtz-Gleichung),$i$die imaginäre Einheitszahl und$\mathbf{d}$der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung der Welle, also senkrecht zur Wellenfront.

Wenn wir unsere Winkel in Bezug auf messen$\mathbf{d}$dann kann die ebene Welle auch dargestellt werden als:

$$u\left(\mathbf{x}\right)=Ae^{ik|\mathbf{x}|\cos(\theta)}$$

wobei wir nur das Skalarprodukt ausgewertet haben.

Die Ableitung bzgl$|\mathbf{x}|$ist dann:

$$\frac{\partial u}{\partial|\mathbf{x}|}=Aik\cos(\theta)e^{ik|\mathbf{x}|\cos(\theta)}=ik\cos(\theta)u\left(\mathbf{x}\right)$$

und wir sehen, dass dies die Strahlungsbedingung von Sommerfeld nur erfüllt, wenn$\theta=0$.

Also ... zusammenfassend:

Erfüllt eine ebene Welle die Sommerfeldsche Strahlungsbedingung?

Nein, sie muss in alle Richtungen erfüllt werden und sie erfüllt sie nur in Ausbreitungsrichtung der Welle.

Was bedeutet de$iku$Begriff bedeutet?

Es ist das, was Sie erhalten, wenn Sie eine ebene Welle in Bezug auf differenzieren$|\mathbf{x}|$entlang seiner Ausbreitungsrichtung.

Was bedeutet der Strahlungszustand von Sommerfield?

Die Strahlungsbedingungen von Sommerfeld lassen nur zu, dass Wellen Energie ins Unendliche abstrahlen (ausgehende Wellen), aber nicht ins Unendliche zurückstrahlen. Im Fall einer ebenen Welle geht die Energieausbreitung in der ganzen Ebene nur in eine Richtung und ohne Dämpfung (das ist nicht sehr physikalisch). Das bedeutet, dass je nachdem, in welche Richtung Sie schauen, die Energie ins Unendliche geht oder aus dem Unendlichen kommt.

Die Bedingung besagt, dass die Welle in jeder Richtung im Raum zu einer ebenen Welle tendieren muss, die sich in diese Richtung ausbreitet, und die Differenz zwischen der tatsächlichen Welle und einer ebenen Welle, die sich in diese Richtung ausbreitet, muss schneller abnehmen als$\sqrt{|\mathbf{x}|}$.

Um Sie zu korrigieren, wenn eine Funktion$u$nimmt schneller ab als$\sqrt{|\mathbf{x}|}$in alle Richtungen, dann wird diese Funktion die Strahlungsbedingung von Sommerfeld erfüllen, aber diese Bedingung lässt allgemeinere Fälle zu.

Hoffe jetzt ist alles klarer.

Was ist also die wahre Bedeutung der Sommerfeld-Strahlungsbedingung, impliziert sie, dass eine Welle auf Null zerfällt oder eine strahlende Welle zu einer ebenen Welle zerfällt oder etwas anderes.

Aus dem Zitat von Sommerfeld unten scheint mir, dass "Streuung bis ins Unendliche" als eine Welle angesehen werden kann, die auf Null abfällt.

Aus Wikipedia Sommerfeldstrahlung ,

Arnold Sommerfeld definierte die Strahlungsbedingung für ein Skalarfeld, das die Helmholtz-Gleichung erfüllt, als

"Die Quellen müssen Quellen sein, nicht Senken von Energie. Die Energie, die von den Quellen abgestrahlt wird, muss ins Unendliche streuen; keine Energie darf aus dem Unendlichen in ... das Feld abgestrahlt werden."

Betrachten Sie mathematisch die inhomogene Helmholtz-Gleichung${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})u=-f{\mbox{ in }}\mathbb {R} ^{n}}$Wo ${\displaystyle n=2,3}$ ist die Dimension des Raumes, ${\displaystyle f}$ ist eine gegebene Funktion mit kompaktem Träger, die eine begrenzte Energiequelle darstellt, und ${\displaystyle k>0}$ ist eine Konstante, Wellenzahl genannt.

Eine Lösung ${\displaystyle u}$  zu dieser Gleichung heißt strahlend, wenn sie die Sommerfeld-Strahlungsbedingung erfüllt

$${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|x|^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial |x|}}-ik\right)u(x)=0}{\displaystyle {\hat {x}}={\frac {x}{|x|}}}$$ (über,  ${\displaystyle i}$ ist die imaginäre Einheit und  ${\displaystyle |\cdot |}$ ist die euklidische Norm). Hier wird angenommen, dass das zeitharmonische Feld ist  ${\displaystyle e^{-i\omega t}u.}$ Wenn stattdessen das zeitharmonische Feld ist  ${\displaystyle e^{i\omega t}u,}$ man sollte ersetzen  ${\displaystyle -i}$ mit  ${\displaystyle +i}$ im Sommerfeld-Strahlungszustand.

Zu deinem zweiten Punkt:

Was sagt die linke Seite der Gleichung aus? Es ist nicht sehr intuitiv, was mit der Multiplikation von u mit ik?

From Eighty Years of Sommerfeld's Radiation Condition - CiteSeerX (Dieser Datei ist ein PDF zugeordnet, auf das ich aus irgendeinem Grund nicht direkt verlinken kann). Ich entschuldige mich dafür, aber das PDF bietet eine mögliche Begründung für die Formulierung der Gleichung, dh um unerwünschte unphysikalische Lösungen zu entfernen.

Eine der Schwierigkeiten bei der Formulierung eines Wellenausbreitungsproblems auf diese Weise besteht darin, dass die Lösung möglicherweise nicht eindeutig ist. Neben den erwarteten ausgehenden Wellen, die entstehen, wenn die einfallende Welle am Objekt gestreut wird, liefert die mathematische Lösung auch eingehende Wellen, die im Unendlichen entstehen und sich auf das Objekt zubewegen. Diese ankommenden Wellen sind physikalisch bedeutungslos und müssen durch ein Kriterium zurückgewiesen werden, das in die mathematische Formulierung des Problems eingebaut ist. Sommerfeld hat als Erster eine mathematisch präzise und leicht anwendbare Bedingung aufgestellt, die in Ergänzung zu äußeren Randwertproblemen für die Helmholtz-Gleichung eine eindeutige Lösung gewährleistet. Diese Bedingung wird im Unendlichen angewendet und erfordert für dreidimensionale Probleme, dass die Lösung u erfüllt$Y= Vx’ + y= + 22, i=CT$, gleichmäßig in Bezug auf alle Richtungen, in denen die Grenze angefahren wird.

In dem (sehr wahrscheinlichen) Fall, dass es subtile Aspekte gibt, die mir ein Rätsel sind, würde ich Sie bitten, die obige Referenz zu googeln und das PDF herunterzuladen.

Die Sommerfeld-Strahlungsbedingung wird verwendet, um die Helmholtz-Gleichung eindeutig zu lösen. Betrachten Sie zum Beispiel das Problem der Strahlung aufgrund einer Punktquelle ${\displaystyle x_{0}}$ in drei Dimensionen, also die Funktion ${\displaystyle f}$ in der Helmholtz-Gleichung ist ${\displaystyle f(x)=\delta (x-x_{0}),}$Wo ${\displaystyle \delta }$ ist die Dirac-Delta-Funktion. Dieses Problem hat unendlich viele Lösungen, zum Beispiel jede Funktion der Form

${\displaystyle u=cu_{+}+(1-c)u_{-}\,}$Wo ${\displaystyle c}$ ist eine Konstante, und${\displaystyle u_{\pm }(x)={\frac {e^{\pm ik|x-x_{0}|}}{4\pi |x-x_{0}|}}.}$

Von all diesen Lösungen nur ${\displaystyle u_{+}}$ erfüllt die Sommerfeld-Strahlungsbedingung und entspricht einem abstrahlenden Feld ${\displaystyle x_{0}.}$. Die anderen Lösungen sind unphysikalisch. Zum Beispiel, ${\displaystyle u_{-}}$ kann als Energie interpretiert werden, die aus der Unendlichkeit kommt und auf sie sinkt ${\displaystyle x_{0}.}$