Verwirrung über die Reaktionskraft einer Rakete

Ich bin verwirrt über die Gleichung, die die Reaktionskraft einer Rakete beschreibt. Ich lese aus dieser Quelle diese Gleichung:

wobei M die Masse der Rakete ist, u die Geschwindigkeit des Abgases in einem Trägheitsbezugssystem ist und v die Geschwindigkeit der Rakete ist. Und nachdem Sie die Grenze als genommen haben$\Delta t$auf Null geht, wird es:

Meine Frage ist, wie ist$u$still$u$nach dem Nehmen der Grenze. Bedeutet das, dass Teil des Gases mit Masse$dm$sofort auf diese Geschwindigkeit beschleunigt?

Auch bei der Berechnung des Schubs des Motors$F=q C$($q$die Änderungsrate der Masse und C die Austrittsgeschwindigkeit des Gases relativ zur Rakete ist) nehmen wir die Geschwindigkeit am Ende der Düse. Aber ist nicht der Moment, in dem sich dieser kleine Teil des Gases von der Rakete trennt (es ist nicht mehr mit der Rakete "verbunden", es kann sich frei nach außen bewegen), der Moment, in dem es in die Brennkammer eingetreten ist? Sollte das nicht die Geschwindigkeit u sein?

AKTUALISIEREN:

Ich glaube, ich habe einige Fortschritte mit den Gleichungen gemacht. Es wäre schön, wenn das jemand bestätigen oder auf den Fehler hinweisen könnte. Betrachten wir die Rakete plus Treibstoff darin als einen Massenkörper$M$(nicht wie im vorherigen Fall) bewegt sich sein Massenschwerpunkt mit der Geschwindigkeit$\vec{v_{cm}}$zu irgendeinem Zeitpunkt. Es ist uns immer noch egal, wie sich der Treibstoff in der Rakete bewegt, wir brauchen nur die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts der Rakete und des Treibstoffs im Inneren zusammen. Nach einiger Zeit$\Delta t$. Die Rakete mit dem Treibstoff darin hat Masse$M-\Delta M$und Geschwindigkeit$\vec{v_{cm}}+\Delta \vec{v_{cm}}$. Es gibt auch einen Teil des Auspuffs mit Masse$\Delta M$und Geschwindigkeit$\vec{v_{ex}}$. Nach Anwendung des Impulserhaltungsgesetzes und Annahme der Grenze als$\Delta t \rightarrow 0$Daraus kann man schließen:

$$\begin{equation} M \vec{a_{cm}}=-\dot M \vec u, \end{equation}$$ Wo$\vec u$ist die Abgasgeschwindigkeit relativ zu Rakete plus Treibstoff. Jetzt,$a_{cm}$kann ausgedrückt werden als: $$\begin{equation} a_{cm}=\frac{1}{M}(m_r \vec{a_r}+m_f \vec{a_f}), \end{equation}$$ Wo$m_r$ist Masse der Rakete und$m_f$ist die Masse des Treibstoffs in der Rakete. Beschleunigung$\vec{a_f}$ist gleich$\vec{a_r}+\vec{a_{fr}}$, Wo$\vec{a_{fr}}$ist die Beschleunigung des Treibstoffs innerhalb der Rakete relativ zur Rakete. Wenn wir dies in die obige Gleichung einsetzen, erhalten wir: $$\begin{equation} \vec{a_{cm}}=\vec{a_r}+\frac{m_f}{M} \vec{a_{fr}}, or \end{equation}$$

$$\begin{equation} M \vec{a_r}=-\dot M \vec u-\frac{m_f}{M} \vec{a_{fr}}. \end{equation}$$ So wird$\vec{a_{fr}}$Null sein und wenn ja, unter welchen Bedingungen (dieses System ist nicht inertial)?

HINWEIS: Geschwindigkeit und Beschleunigung des Kraftstoffs werden als effektiv angesehen (wie die Behandlung des gesamten Kraftstoffs als ein Körper).