Wärmeverteilung in einem Ofen

Ich habe dieses Problem wo ich einen Backofen vorheizen muss um zu erreichen N ∘ . Nehmen wir also an, im Ofen befindet sich unten ein Heizelement, das wiederum den Rest des Ofens aufheizt. Angenommen, die Luft im Ofen verhält sich wie ein Standardleiter (Konvektion ignorieren), wie kann ich die Temperatur an einem bestimmten Punkt messen? T und wie hoch ist die Gleichgewichtstemperatur an einem bestimmten Punkt?

Was ich bisher getan habe, ist, einige Annahmen über das System zu treffen.

  • Die Wände sind perfekt isoliert
  • Ofen ist 1-dimensional ( z Richtung)
  • Ofen hat Länge L und Leistungsabgabe Q
  • Heizelement wird bei platziert z = 0

Aus diesen Annahmen ist es mir gelungen, die folgende Gleichung unter Verwendung der Wärmediffusionsgleichung zu formulieren a ist die Temperaturleitfähigkeit von Luft, C ist die spezifische Wärmekapazität der Luft, ρ ist die Dichte und δ ist die Dirac-Delta-Funktion.

u T = a u z z + Q C ρ δ ( z )
Und diese Gleichung hätte die folgenden Anfangs- und Randbedingungen wo T 0 ist die anfängliche Raumtemperatur des Ofens.
u ( z , 0 ) = T 0
u z ( 0 , T ) = u z ( L , T ) = 0
Dies ist der Punkt, an dem ich mir nicht sicher bin, ob ich den richtigen Ansatz gewählt habe, da es sich falsch anfühlt u z ( 0 , T ) = 0 während auch das Heizelement an z = 0 . Vielleicht könnte ich das Heizelement bei platzieren z = ϵ stattdessen, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das herausfinden soll, und würde es viel lieber haben z = 0 . Ich habe versucht, die Gleichung mit den Methoden zu lösen, die ich hier gefunden habe , aber ich scheine Probleme damit zu haben Q da es nicht als Summe geschrieben werden kann X N ( X ) Und Q N ( T ) da es nur eine Konstante ist, wobei die einzige Raumabhängigkeit die Dirac-Delta-Funktion ist.

Ich habe auch versucht, die Gleichgewichtstemperaturen zu finden, indem ich einen stationären Zustand mit angenommen habe u T = 0 was zu weiteren Problemen führt, da ich nicht sicher bin, wie ich das unbestimmte Integral der Dirac-Delta-Funktion finden soll (unsicher, ob es überhaupt eines gibt). Ich habe versucht, nur die definitive integrale Definition zu verwenden, aber das führt zu widersprüchlichen Ergebnissen.

Wenn jemand eine ausführliche Antwort zur Lösung des Problems oder sogar einen Punkt in die richtige Richtung geben könnte, würde ich es begrüßen, da ich seit ein paar Tagen darüber nachdenke, mir aber noch keine Lösung einfallen lässt.

Sie haben ein Problem mit Ihren Annahmen. Wände sind perfekt isolierend, was bedeutet, dass jede Wärme, die eindringt, drin bleibt. Das Heizelement fügt Wärme für immer hinzu. Dies bedeutet, dass Sie einen Ofen haben, der heißer und heißer wird, ohne jemals eine Gleichgewichtstemperatur zu erreichen.
Auch kann man Luft oder Wärme nicht in einer Dimension haben
Verwenden − k ∂ u ∂ z = Q bei z = 0, wobei q der Wärmefluss ist, und verlieren den Dirac-Delta-Term in der Differentialgleichung.

Antworten (1)

Ein einfaches Modell kann für Ihren Fall angepasst werden. Lösen Sie eine einfache Diffusionsgleichung für die thermische Energiedichte u ( z , T )

(1) ∂ u ∂ T = D ∂ 2 u ∂ z 2 .
Wo D die Diffusionskonstante. Und stellen Sie die Randbedingungen auf:
D [ ∂ u ∂ z ] L = 0 ; D [ ∂ u ∂ z ] 0 = − P
Wo P ist der stromerzeugende Formheizdraht. Auf die Details werde ich im Folgenden näher eingehen. 

effects of boundary condition

Um zu untersuchen, wie die Randbedingung mit der Heizleistung zusammenhängt, integrieren wir Gl. (1) bzgl z .

(2) ∫ 0 L D z { ∂ u ∂ T = D ∂ 2 u ∂ z 2 }

Definieren U ( T ) = ∫ 0 L u ( z , T ) D z . Nach der Integration ergibt Gl. (2) macht:

(3) ∂ U ( T ) ∂ T = D [ ∂ u ∂ z ] L − D [ ∂ u ∂ z ] 0
Diese Gleichung gibt der Ableitung von eine dynamische Bedeutung u an den Grenzen: Die Ableitungen bezeichnen die Änderungsrate der Gesamtenergie.

Der z = L ist ein isolierendes Mittel zum Setzen [ ∂ u ∂ z ] L = 0 , kommen alle Wärmeenergien an z werden reflektiert - dort verschwindet die Steigung und Energie bleibt erhalten.

Entfernen Sie die Grenze bei z = L , Gl. (3) wird

(4) ∂ U ( T ) ∂ T = − D [ ∂ u ∂ z ] 0
Wo U ( T ) ist die Gesamtwärmekapazität zur Zeit T . Deshalb der Schlupf:
(5) ∂ U ( T ) ∂ T = − D [ ∂ u ∂ z ] 0 =  Ratenänderung der gesamten Wärmeenergie.

Abschließend müssen Sie die Neumann-Randbedingungen festlegen:

D [ ∂ u ∂ z ] L = 0

Die Nullableitung bedeutet eine Reflexionsgrenze. Die isolierende Grenze reflektiert den gesamten Wärmefluss in sie hinein.

Und die Neumann-Randbedingung bei z = 0 :

D [ ∂ u ∂ z ] 0 = − P

P ist die Leistung des Wärmeerzeugers.

Stellen Sie diese beiden Bedingungen auf und lösen Sie dann die einfache Diffusionsgleichung. Sie werden bekommen, was Sie erwarten.

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