Warum bedeutet mehr Bandbreite bei der digitalen Übertragung eine höhere Bitrate?

Es ist ein subtiler Punkt, aber Ihr Denken geht in die Irre, wenn Sie an einen 330-Hz-Ton denken, der irgendwie 660 Bits/Sekunde an Informationen übermittelt. Das tut es nicht – und tatsächlich vermittelt ein reiner Ton überhaupt keine anderen Informationen als seine Anwesenheit oder Abwesenheit.

Um Informationen über einen Kanal zu übertragen, müssen Sie in der Lage sein, eine beliebige Folge von zu übertragenden Signalisierungszuständen festzulegen , und – das ist der entscheidende Punkt – diese Zustände am anderen Ende unterscheiden zu können.

Mit Ihrem 30-330-Hz-Kanal können Sie 660 Zustände pro Sekunde angeben, aber es stellt sich heraus, dass 9 % dieser Zustandssequenzen gegen die Bandbreitenbeschränkungen des Kanals verstoßen und daher nicht von anderen Zustandssequenzen am anderen Ende zu unterscheiden sind Sie können sie nicht verwenden. Aus diesem Grund ergibt sich eine Informationsbandbreite von 600 b/s.

Dies ist nur eine Teilantwort, aber hoffentlich werden die wichtigsten Punkte angesprochen, die Sie missverstehen.

Mein Problem ist, dass es mir schwer fällt zu verstehen, warum die Bandbreite überhaupt mit der Bitrate zusammenhängt. ...

Wenn eine Null als 30-Hz-Trägerfrequenz ausgedrückt wird, eine Eins als 330-Hz-Trägerfrequenz und das Modulationssignal 330 Hz, dann beträgt die maximale Bitrate 660 bps.

Wenn Sie für eine Null auf 30 Hz herunterschalten, benötigen Sie ungefähr 1/60 s oder so, um wirklich zu wissen, dass Sie 30 Hz und nicht 20 Hz oder 50 Hz oder so etwas haben. In diesem Fall tasten Sie wirklich nur Ihren 300-Hz-Träger ein und aus, und das 30-Hz-Signal, das während der Nullen für 1/660 s gesendet wird, ist nur verwirrend.

Um über FSK zu sprechen, nehmen wir ein realistischeres Beispiel. Angenommen, Sie verwenden 1 MHz für die Null und 1,01 MHz für die Eins. Es stellt sich heraus, dass Sie das Signal etwa messen müssen$1/2\Delta{}f$, in diesem Fall 1/20.000 s, um diese beiden Frequenzen zuverlässig unterscheiden zu können. Wenn Sie das Signal nur für 1 us messen würden, könnten Sie den Unterschied zwischen einem 1-MHz-Signal und einem 1,01-MHz-Signal nicht wirklich erkennen (obwohl Sie dies in einem idealen, rauschfreien Szenario tun könnten, genau wie Shannons Formel sagt, dass Sie unendliche Daten mit einer Bandbreite von null übertragen können, wenn das SNR auf unendlich geht)

In diesem Beispiel beträgt die Bitrate, die Sie senden können, etwa 20 kHz, was der 2-fachen Differenz zwischen Ihren 1- und 0-Frequenzen entspricht, genau wie die Nyquist-Formel Sie für einen 2-Level-Code erwarten lässt.

Ihre Fragen sind gültig und der Weg zu einem richtigen Verständnis dessen, was die Theorie bedeutet ;-).

Auf die Frage, wie mehr Bandbreite eine höhere Bitrate bedeutet, mag die Erklärung einfach aussehen, aber gleichzeitig schlecht sein.

Hier ist eine "schlechte" Erklärung, die in Ordnung aussieht. Es ist ein Anfang zu verstehen, warum eine größere Bandbreite mehr Daten bedeutet. Angenommen, ich habe einen ersten WiFi-Kanal Nummer 1, der angesichts der Leistungs- und Codierungsbedingungen mit 1 Mb / s läuft. Dann nehme ich einen anderen WiFi-Kanal Nummer 2, der die gleiche Bandbreite, Leistung und Codierungsbedingungen hat. Es läuft auch mit 1Mb/s. Wenn ich die beiden zusammenzähle, habe ich die Bandbreite verdoppelt (zwei verschiedene Kanäle) und den Datendurchsatz verdoppelt (2x1Mb/s).

Wenn Sie denken, dass dies wie eine perfekte Erklärung aussieht, vergessen Sie, dass wir auch die Leistung verdoppelt haben. Ebenso der doppelte Datendurchsatz durch die doppelte Leistung bzw. durch die doppelte Bandbreite. Es ist eigentlich ein bisschen von beidem.

Wenn ich die Gesamtleistung gleich halte, während ich die Bandbreite verdoppele, muss ich einen ersten WLAN-Kanal, der mit 1 Mb/s läuft, mit der Summe von zwei anderen WLAN-Kanälen vergleichen, die jeweils mit der Hälfte der empfangenen Leistung laufen. Ich werde die Datenblätter von WiFi-Modems nicht überprüfen, aber dies wäre eine interessante Übung, um sie mit dem folgenden theoretischen Ansatz zu vergleichen. Shannon hilft uns bei der Vorhersage, was mehr oder weniger passieren wird, wenn sich die Codierung an die Leistungspegel anpasst (was bei WiFi der Fall ist). Passt sich die Codierung nicht an, bleibt die Datenrate konstant, bis der Empfangspegel zu niedrig wird und dann auf 0 abfällt.

Shannon sagt also: C=B∗log2(1+S/N) . Bei Beibehaltung der Gesamtleistung, aber Verdoppelung der Bandbreite, C2=2*B*log2(1+(S/2)/N), wobei C2 die potenzielle Datenrate ist. Wenn wir die tatsächlichen Zahlen eingeben, könnten wir annehmen, dass S=2xN ist, sodass log2(1+2)=1,58 und log2(1+1)=1. Also C=B*1,58 und C2=B*2 . Mit anderen Worten, wenn mein Signalpegel bei der größten Bandbreite gleich dem Rauschpegel ist, ist die potenzielle Datenrate etwa 26 % höher als die gleiche Gesamtleistung, die bei der Hälfte der Bandbreite abgegeben wird. Theoretisch kann Ultraschmalband also nicht effizienter sein als Ultrabreitband, basierend auf dem Shannon-Theorem. Und das Verdoppeln der Bandbreite bei gleicher Gesamtleistung verdoppelt nicht die Bandbreite, wie unser WLAN-Beispiel nahelegt. Aber die Bandbreite ist höher. Wenn wir den „1“-Term in log2 des Shannon-Ausdrucks vernachlässigen können,

Allerdings muss sich, wie gesagt, die Codierung anpassen, sie muss auf die tatsächlich zur Verfügung stehende Leistung und Bandbreite optimiert werden. Wenn die Codierung gleich bleibt, gehe ich einfach von funktionsfähig zu funktionsgestört.

Um zu Ihrer zweiten Frage zu wechseln, wenn ich ein FSK-Signal habe, das sich bei 30 Hz mit zwei Frequenzen ändert, kann ich nur mit 30 bps emittieren, weil ich 30 Symbole pro Sekunde aussende, die jeweils einem Bit von 1 oder 0 entsprechen. Wenn ich 4 Zustände einführe ( =4 Frequenzen), indem ich zwei Frequenzen zwischen die vorherigen einfüge, weil mein Geräuschpegel es zulässt, dann emittiere ich mit 4x30bps=120bps. Bei FSK glaube ich nicht, dass die Bandbreite konstant bleibt, wenn die Anzahl der Zustände auf diese Weise erhöht wird, aber man kann sicherlich einen Weg finden, sie mehr oder weniger konstant zu halten (unter Berücksichtigung der 3-dB-Grenzen, da das theoretische Frequenzspektrum unbegrenzt ist).

Warum eine Rechteckwelle für das "modulierende" Signal verwenden? Dies ist eine Auswahl bei dieser Codierung, die die Decodierung "einfacher" macht, da Sie auf der Empfängerseite einfach einen Bandpassfilter für jede Frequenz haben müssen. Sie senden immer noch "Sinuswellen" aus - wenn Sie nur "1"-Werte aussenden, haben Sie nur eine Frequenz. Die Frequenzverschiebungen implizieren jedoch das Vorhandensein von "Harmonischen", die diese Frequenzverschiebungen zulassen/begleiten. Andere Kodierungen haben andere Vor- und Nachteile. Beispielsweise ermöglicht Direct Sequence Spread Spectrum ein Signal unterhalb des Rauschpegels (und hat daher in vielen anderen Codierungen einen geringeren Antennenleistungsbedarf für eine ähnliche Bitrate), ist jedoch schwieriger zu decodieren (und erfordert daher mehr (Rechen-) Leistung und Komplexität in der Dekodierungsschaltung).

Was auch immer die gewählte Codierung ist, sie muss das Shannon-Theorem respektieren, das die Obergrenze festlegt. Sie können Shannon nicht einfach auf eine Codierung wie FSK anwenden, wenn Sie den Leistungspegel, die Anzahl der Zustände und andere Parameter des FSK-Signals nicht anpassen, wenn sich der Rauschpegel oder der Signalpegel (Abstand) ändert. Mit Shannon können Sie die absolute Mindestleistung für eine bestimmte Bandbreite und Datenrate überprüfen. Das Codierungsverfahren erhöht die minimale Leistungsgrenze. Und wenn die Leistungspegel diese Grenze überschreiten, bleibt die Bitrate einfach konstant. Die Anwendung von Shannon dort ist einfach falsch, wenn Sie erklären wollen, dass mehr Bandbreite eine höhere Bitrate bedeutet. Das WiFi-Beispiel mag dort in der Praxis sehr wohl für eine Erklärung gelten, aber es ist nicht die allgemeine Antwort auf der Grundlage des Shannon-Theorems.

Bearbeiten: Lesen Sie Ihre Frage erneut: "Im zweiten Fall beträgt die Bitrate maximal 660 bps". Eigentlich verstehe ich nicht ganz, wie Sie auf 660 bps kommen, da sich Ihre Frequenz nur 30 Mal pro Sekunde ändert und Sie auf zwei Frequenzen codieren, was 1 Bit entspricht. Daher meine 30 bps oben. Diese Codierung ermöglicht eine volle Periode bei 30 Hz und 22 volle Perioden bei 660 Hz für jedes Symbol. Aber 22 Perioden ändern nichts an der Tatsache, dass es nur ein Symbol gibt. Es sieht so aus, als ob etwas fehlt oder dass die Argumentation falsch ist.

Edit2: Ich habe es verstanden - Sie vergleichen mit dem Nyquist-Limit. Diese Nyquist-Grenze gibt Ihnen die Obergrenze der Datenrate bei gegebener Bandbreite und der Anzahl der Zustände pro Symbol an. Hier ist die gewählte FSK-Kodierung nicht optimal. Sie verwenden 30 Hz und 660 Hz. Die Nyquist-Grenze besagt, dass 30 bps = 2 * B * log2 (2), daher muss die Bandbreite mindestens B = 15 Hz betragen. Ohne ins Detail zu gehen, heißt es mehr oder weniger, dass das Einstellen der FSK-Frequenzen auf 645 Hz und 660 Hz eine gute Optimierung der Bandbreite wäre (wenn FSK ansonsten eine optimale Codierung ist und ohne die genaue Bandbreite aufgrund von Harmonischen zu überprüfen - die 15 Hz können es auch sein niedrig für FSK).

Bearbeiten 3 - Erklärung folgt nach weiterer Analyse, um die Quelle der Verwirrung mit anderen Antworten und der ursprünglichen Frage weiter zu erklären.

• Die Nyquist-Formel basiert auf dem Abtasttheorem, das besagt, dass ein Signal mit einer Bandbreite B aus genau 2B Abtastungen pro Sekunde perfekt rekonstruiert wird.
• Daher können die 2B-Samples jeweils ein Symbol darstellen (die Intensität kann bestimmen, welches Symbol).
• Ein Signal mit einer Bandbreite von 300 Hz kann mit 600 Symbolen rekonstruiert werden - nicht mehr und nicht weniger.
• Aus diesem Grund gibt es "Aliasing" - Bandbreitenbeschränkung kann dazu führen, dass zwei verschiedene Signale nach dem Abtasten gleich aussehen.
• Wenn jedes Symbol nur 2 Zustände repräsentiert, dann sind nur 600 bps möglich.
• Der FSK von 30 Hz bis 330 Hz kann mehr als 600 bps darstellen, aber dann müssen Sie mehr als 2 Zustände pro Symbol berücksichtigen. Ist aber keine FSK-Demodulation mehr, da man nicht nur die Frequenz berücksichtigen kann.