Warum besagt diese Formel, dass die Raketeneffizienz von der Geschwindigkeit abhängt?

Dies ist eine ausgezeichnete Frage.

Die Antwort ist, dass Treibstoff in einer sich bewegenden Rakete etwas kinetische Energie hat . Immerhin bewegt es sich mit großer Geschwindigkeit relativ zur Erde. Die Menge dieser Energie hängt davon ab, wie schnell sich die Rakete bewegt, und überraschenderweise kann der Raketenmotor diese Energie extrahieren und in nützliche Arbeit umwandeln. Sie werden vielleicht bemerken, dass eine Formel, die Sie gezeigt haben, einen Wirkungsgrad von 100% erreicht, wenn die Geschwindigkeit der Rakete gleich der Geschwindigkeit des Raketenausstoßes ist (v = ve). Dies liegt daran, dass bei v = ve die Abgasgeschwindigkeit relativ zur Erde Null wäre und die gesamte im Treibstoff gespeicherte kinetische Energie vollständig vom Raketentriebwerk extrahiert und zum Beschleunigen der Rakete verwendet wird.

Andererseits erhöht die vom Raketentriebwerk geleistete Arbeit die kinetische Energie sowohl der Rakete als auch des verbleibenden Treibstoffs, der sich noch mit der Rakete bewegt. In einer Rakete drückt man also im Wesentlichen zuerst etwas Energie in den Treibstoff und gewinnt dann einen Teil dieser Energie über den Raketenmotor zurück. Sie stecken immer 100 % der Energie in Kraftstoff, können aber nur einen Bruchteil davon zurückgewinnen, und Ihre Formel sagt eigentlich aus, wie viel Energie zurückgewonnen werden würde.

Es gibt einige praktische Auswirkungen, die sich aus dieser Beobachtung ergeben. Stellen Sie sich zum Beispiel ein Auto mit einem 200-PS-Motor vor. Selbst wenn Sie alle Reibung, Luftwiderstand usw. fallen lassen, je schneller das Auto fährt, desto langsamer würde seine Beschleunigung sein. Dies geschieht, weil die Energie eines Autos linear mit der Zeit wächst und die kinetische Energie proportional zur Geschwindigkeit im Quadrat ist, sodass Sie immer mehr Arbeit leisten müssen, um eine zusätzliche Meile pro Stunde zu erreichen. Aber dank dieses "Extra-Energie-in-Treibstoff-Effekts" wirkt sich dies nicht auf Raketen aus. Tatsächlich werden Raketen im Laufe der Zeit immer schneller beschleunigen, obwohl der Raketenmotor nominell die konstante Leistung hat, ähnlich wie ein Motor in einem Auto. Dies geschieht, weil im Raketentreibstoff immer mehr kinetische Energie verfügbar ist und mit abnehmender Treibstoffmenge in der Rakete immer weniger Energie dorthin gelangt.

Normalerweise müssen Sie sich darüber keine Gedanken machen, denn es gibt Gleichungen, die für die eigentliche Raketentechnik viel praktischer sind. Es gibt jedoch einen netten Trick namens Oberth-Effekt , der diese Idee wirklich nutzt und tatsächlich in der Weltraumforschung verwendet wird. Beim Oberth-Manöver nutzt man die Planetengravitation, um das Raumfahrzeug und den darin befindlichen Treibstoff zu beschleunigen , wodurch zusätzliche kinetische Energie in diesen Treibstoff gelangt. Sobald das Raumfahrzeug so viel kinetische Energie wie möglich "gesammelt" hat, kann das Raketentriebwerk gezündet werden, um nützliche Arbeit daraus zu extrahieren. Und es funktioniert tatsächlich.

Die Energieeffizienz ist nicht besonders nützlich, wenn sie auf Raketentriebwerke für die Weltraumforschung angewendet wird. Unter Verwendung dieser Definition des Triebwerkswirkungsgrads ist ein Kaltgasstrahlruder effizienter als ein Ionentriebwerk$^{*}$Es geht um die Effizienz, mit der die dem Kraftstoff entzogene Energie in eine Kraft auf das Fahrzeug umgesetzt wird. Es besagt im Grunde, wenn Ihr Auspuff "rückwärts" fährt, nachdem er Ihr Fahrzeug beschleunigt hat (Ihr Fahrzeug fährt mit einer Geschwindigkeit, die niedriger als die Auspuffgeschwindigkeit ist), dann wurde zu viel Energie verwendet, um den Auspuff zu beschleunigen, und es hätte verwendet werden können um stattdessen das Fahrzeug zu beschleunigen$^{**}$. (Umgekehrt, wenn Sie bereits schneller als Ihre Abgasgeschwindigkeit unterwegs sind, könnte die Effizienz verbessert werden, indem Sie Ihren Auspuff noch mehr beschleunigen.)

Die Faktoren, die für eine Trägerrakete oder ein Raumfahrzeug von Bedeutung sind, sind:

• ISP
• Verhältnis von Schub zu Gewicht
• Massenanteil.

Eine Möglichkeit, einen Raketenmotor "energieeffizient" zu machen, würde eine große Menge an inertem Treibmittel mit sich herumtragen, um die Abgasgeschwindigkeit bei niedrigen Geschwindigkeiten zu verringern. Dies würde Ihrem Fahrzeug einen schlechten ISP und einen schlechten Massenanteil geben.

Eine "Air Augmented Rocket" verbessert die Motoreffizienz und den ISP, aber sobald die Trägerrakete aus der dichteren Atmosphäre heraus ist, hat sie ihre Vorteile verloren.

$*$Ihre Kraftstoffeffizienz ist eine ganz andere Sache.

${**}$Da ein Raketenmotor seinen Auspuff beschleunigt, um das Fahrzeug zu beschleunigen, kann man wirklich nicht viel dagegen tun.

Ich würde erwarten, dass die gleiche Kraftstoffmenge unabhängig von der aktuellen Geschwindigkeit in die gleiche Geschwindigkeitssteigerung umgewandelt wird.

Beginnen wir mit unserem Freund$E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Jeder Zuwachs an verbranntem Kraftstoff gibt Ihnen eine bestimmte Menge an Energie , aber je schneller Sie fahren, desto weniger Geschwindigkeitssteigerung können Sie mit derselben Energie erzielen. Dies gilt für Alltagsgegenstände, nicht nur für Raketen, daher sollte es keine Überraschung sein, dass irgendwo ein Geschwindigkeitsbegriff auftauchen könnte.

$\frac{1}{2}mv^2$gilt auch für den Auspuff, was uns zu dem führt, was @JCRM über die Effizienz erklärt. Effizienz in Bezug auf die Beschleunigung der Rakete bedeutet, dass die maximale Energiemenge auf die Rakete übertragen werden sollte und die minimale Menge im Auspuff verbleiben sollte. Die kinetische Energie des Abgases wird minimiert, wenn es "in Ruhe" gelassen wird, dh wann$v_e = v$. Wenn$v_e$mehr oder weniger ist, dann hat der Auspuff etwas kinetische Energie übrig, die daher nicht in die Rakete gelangt.