Warum beträgt die Zeitkonstante 63,2 % und nicht 50 % oder 70 %?

Andere Antworten haben noch nicht herausgefunden, was e besonders macht: Die Definition der Zeitkonstante als die Zeit, die erforderlich ist, damit etwas um den Faktor e fällt , bedeutet, dass die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt so sein wird, dass - wenn überhaupt Rate fortgesetzt würden – die Zeit, die benötigt wird, um zu nichts zu zerfallen, wäre eine Zeitkonstante.

Wenn man beispielsweise eine 1uF-Kappe und einen 1M-Widerstand hat, beträgt die Zeitkonstante eine Sekunde. Wenn der Kondensator auf 10 Volt aufgeladen wird, fällt die Spannung mit einer Rate von 10 Volt/Sekunde. Wenn es auf 5 Volt aufgeladen wird, fällt die Spannung mit einer Geschwindigkeit von 5 Volt/Sekunde. Die Tatsache, dass die Änderungsrate mit der Spannung abnimmt, bedeutet, dass die Spannung nicht innerhalb einer Sekunde auf Null abfällt, sondern die Abnahmerate zu jedem Zeitpunkt die aktuelle Spannung dividiert durch die Zeitkonstante ist.

Würde man die Zeitkonstante in irgendeiner anderen Einheit definieren (zB Halbwertszeit), dann würde die Zerfallsgeschwindigkeit nicht mehr so ​​schön mit der Zeitkonstante korrespondieren.

Es ist in die Mathematik des exponentiellen Abfalls eingebaut, der mit Systemen erster Ordnung verbunden ist. Wenn die Antwort bei t = 0 bei Eins beginnt, dann ist die Antwort nach einer "Zeiteinheit".$e^{-1} = 0.36788$. Wenn Sie sich eine Anstiegszeit ansehen, subtrahieren Sie diese von der Einheit, was 0,63212 oder 63,2 % ergibt.

Die "Zeiteinheit" wird als "Zeitkonstante" des Systems bezeichnet und üblicherweise mit τ (Tau) bezeichnet. Der vollständige Ausdruck für die Systemantwort über die Zeit (t) lautet

Die Zeitkonstante ist also eine nützliche Größe, die man kennen sollte. Wenn Sie die Zeitkonstante direkt messen möchten, messen Sie die Zeit, die benötigt wird, um 63,2 % ihres Endwerts zu erreichen.

In der Elektronik funktioniert es, dass die Zeitkonstante (in Sekunden) gleich R×C in einer RC-Schaltung oder L/R in einer RL-Schaltung ist, wenn Sie Ohm, Farad und Henry als Einheiten für die Komponentenwerte verwenden. Das heißt, wenn Sie die Zeitkonstante kennen, können Sie einen der Komponentenwerte ableiten, wenn Sie den anderen kennen.

Das Abklingen einer RC-Parallelschaltung mit auf Vo aufgeladenem Kondensator

v(t) =$Vo(1-e^{-t/\tau})$, wo$\tau$ist die Zeitkonstante R$\cdot$C.

Also v($\tau$)/Vo ist ungefähr 0,63212055882855767840447622983854

Mit anderen Worten, die Zeitkonstante wird durch das RC-Produkt (oder das L/R-Verhältnis) definiert, und die scheinbar willkürliche Spannung ist ein Ergebnis dieser Definition und der Art und Weise, wie ein exponentieller Abfall oder eine Aufladung auftritt.

Exponentieller Zerfall ist verschiedenen physikalischen Prozessen gemeinsam, wie dem radioaktiven Zerfall, einigen Arten der Abkühlung usw. und kann durch eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung (ODE) beschrieben werden.

Angenommen, Sie möchten die Zeit wissen, zu der die Spannung 0,5 der Anfangsspannung beträgt (oder der Endspannung, wenn von 0 geladen wird). Es ist (von oben)

t = -$\ln(0.5)\tau$oder etwa 0,693 RC

Wie auch immer Sie es tun, einige irrationale Zahlen tauchen auf und beschäftigen sich mit RC=$\tau$ist der "natürliche" Weg.

Nur als Ergänzung zu den anderen hervorragenden Antworten von Dave Tweed, Supercat und Spehro Phefany füge ich meine 2 Cent hinzu.

Zuerst ein bisschen Spitzfindigkeit, wie ich in einem Kommentar schrieb, die Zeitkonstante ist nicht als 63% definiert . Formal ist er als Kehrwert des Koeffizienten des Exponenten einer Exponentialfunktion definiert. Das heißt, wenn Q die relevante Größe ist (Spannung, Strom, Leistung, was auch immer) und Q mit der Zeit abfällt als:

Dann ist die Zeitkonstante des Abklingvorgangs definiert als$\tau = 1 / k$.

Wie andere darauf hingewiesen haben, bedeutet dies, dass für$t = \tau$die Menge hat sich um ca. 63 % verringert (d.h. die Menge beträgt ca. 37 % des Ausgangswertes):

Was andere Antworten nur am Rande berührt haben, ist , warum diese Wahl getroffen wurde. Die Antwort ist einfach : Die Zeitkonstante bietet eine einfache Möglichkeit, die Geschwindigkeit der Evolution ähnlicher Prozesse zu vergleichen. In der Elektronik kann die Zeitkonstante oft als "Reaktionsgeschwindigkeit" einer Schaltung interpretiert werden. Wenn Sie die Zeitkonstanten zweier Schaltungen kennen, ist es einfach, ihre "relative Geschwindigkeit" zu vergleichen, indem Sie diese Konstanten vergleichen.

Darüber hinaus ist die Zeitkonstante eine auf intuitive Weise leicht verständliche Größe. Wenn ich zum Beispiel sage, dass sich eine Schaltung mit einer Zeitkonstante einpendelt$\tau = 1 \mu s$, dann kann ich das nach einiger Zeit leicht nachvollziehen$3\tau=3\mu s$(oder vielleicht$5\tau=5\mu s$, abhängig von der Genauigkeit dessen, was Sie tun) kann ich den Übergang als beendet betrachten ($3\tau$und$5\tau$sind die am häufigsten gewählten Faustregeln für die herkömmliche Transientendauer).

Mit anderen Worten, die Zeitkonstante ist eine einfache und verständliche Methode, um die Zeitskala zu vermitteln, auf der ein Phänomen auftritt.

Das kommt von der$e$konstanter Wert$1-e^{-1} \approx 0.63$.