Warum das Integral Null ist

Wenn Sie über Telekommunikation sprechen, nehme ich an, dass wir über Hochfrequenzen sprechen. Wenn das der Fall ist:

• $\frac{1}{T} = f$
• $\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$reicht von$0$zu$+2$, wenn Sie dies durch eine große Zahl teilen, erhalten Sie ungefähr null.
Um Ihnen eine Vorstellung zu geben: für eine Frequenz um$1\;\text{kHz}$(was als "extrem niedrig" angesehen wird), ist das Ergebnis AT MAXIMUM$0.002$.

Durch Erhöhen der Frequenz legen wir mehr Schwingungsperioden in das Integrationsintervall.

Da das Integral eines Sinus über eine Periode Null ist, sollten wir nur die „unvollständige“ Periode am Ende des Integrationsintervalls betrachten.

Wenn wir die Frequenz erhöhen, wird der Bereich dieser unvollständigen Periode dünner und dünner (was die$\omega$im Determinator).

Wenn ich einige Werte einsetze, erhalte ich Folgendes:

$T = 1$

$\omega \rightarrow$Ergebnis

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Jetzt bin ich mir nicht sicher, in welcher Größenordnung$>>$bedeutet und wie klein das Ergebnis sein muss, um berücksichtigt zu werden$\approx 0$, aber es neigt dazu, Null zu werden, wenn es viel größer ist.

Was sind die typischen Werte für$\omega$und T Sie betrachten?

Update (wegen der Kommentare):

Wie FMarazzi ganz gut erklärt hat, gibt es für diesen Fall eine Obergrenze$\cos(\omega T)$ist -1, also haben Sie$\frac{2}{\omega}$, was das absolute Maximum ist, das Sie jemals für ein beliebiges T bekommen werden.

Wenn Sie also den Wert für T wählen, erhalten Sie gewissermaßen das Maximum für einen gegebenen Wert$\omega$Der Tisch verwandelt sich in:

$\omega \rightarrow$maximal möglicher Wert

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

Usw. Ich weiß nicht, in welchem ​​​​Kontext die Annäherung verwendet wird, aber wie in den Kommentaren angegeben, handelt es sich um Kommunikationssysteme, und ich vermute, dass es sich nicht um UART mit 9600 Baud handelt, sondern um etwas wie Ethernet oder schnellere Dinge$\omega$liegt in der Größenordnung von$10^7$oder höher, für die das Ergebnis des Integrals klein wird und wahrscheinlich nicht zu den anderen interessierenden Termen beiträgt.

In der Gleichung wie geschrieben ein größerer$\omega$führt im Durchschnitt zu einem kleineren Wert des Integrals, aber zu einem größeren$T$wird nicht.

Ich vermute, dass mehr Kontext erforderlich ist, um richtig zu verstehen, was gemeint ist.

Insbesondere müssen wir darüber nachdenken, was genau wir mit "$\approx 0$"."$\approx 0$" sollte wahrscheinlich als "vernachlässigbar" interpretiert werden, aber was "vernachlässigbar" bedeutet, hängt stark vom Kontext ab. Wenn es einen verwandten Wert gibt, der mit zunehmenden Werten von zunimmt$T$dann kann es sein, dass das Ergebnis des Integrals groß wird$T$ist groß aber$\omega$klein ist, kann immer noch als vernachlässigbar angesehen werden.