Hintergrund

In Abwesenheit eines elektrischen Feldes erfährt ein geladenes Teilchen eine Kraft, die senkrecht zum Magnetfeld und seiner Geschwindigkeit relativ zu diesem Feld ist, die Lorentz-Kraft genannt wird . Dies ist gegeben durch:

$$\mathbf{F}_{s} = q_{s} \ \mathbf{v}_{s} \times \mathbf{B} \tag{1}$$ Wo $q_{s}$ist die Ladung der Arten $s$, $\mathbf{v}_{s}$ist die Artengeschwindigkeit $s$in Bezug auf das Magnetfeld, $\mathbf{B}$. Wir können das Plasma als Flüssigkeit annähern, dh magnetohydrodynamisch , was dabei helfen wird, einige Dinge zu vereinfachen.

In der Flüssigkeitsgrenze können wir das Ohmsche Gesetz in einem Bezugsrahmen zeigen, der sich relativ zur Flüssigkeit mit Geschwindigkeit bewegt$\mathbf{U}$(oder äquivalent kann man sagen, dass wir in Ruhe sind und die Flüssigkeit sich bewegt$\mathbf{U}$), wird gegeben durch:

$$\mathbf{j} = \sigma \left( \mathbf{E} + \mathbf{U} \times \mathbf{B} \right) \tag{2}$$ Wo $\mathbf{j}$ist die Stromdichte und $\sigma$ist die elektrische Leitfähigkeit . Beachten Sie, dass dies in der nicht-relativistischen Grenze liegt, wo wir uns mit gallileschen Transformationen annähern können (z. B. $\mathbf{E}' = \mathbf{E} + \mathbf{U} \times \mathbf{B}$) anstelle von Lorentztransformationen . Wir können dann das Ampèresche Gesetz in Kombination mit dem Ohmschen Gesetz (z. B. Gleichung 2 oben) verwenden , um zu zeigen: $$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{o} \ \sigma \left( \mathbf{E} + \mathbf{U} \times \mathbf{B} \right) \tag{3}$$ Wo $\mu_{o}$ist die Durchlässigkeit des freien Raums. Wir können die Locke von Gleichung 3 nehmen und mit dem Faradayschen Gesetz kombinieren , um zu zeigen: $$\partial_{t} \mathbf{B} = \nabla \times \left( \mathbf{U} \times \mathbf{B} \right) + \frac{1}{\mu_{o} \ \sigma} \nabla^{2} \mathbf{B} \tag{4}$$

In der Grenze als$\sigma \rightarrow \infty$, kann man weiter zeigen:

$$\frac{d \Phi_{B}}{dt} = \int_{S} \ dA \ \left[ \partial_{t} \mathbf{B} - \nabla \times \left( \mathbf{U} \times \mathbf{B} \right) \right] \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0 \tag{5}$$ Wo $\Phi_{B}$ist der magnetische Fluss und $dA$ist eine beliebige Fläche mit Einheitsnormalenvektor, $\hat{\mathbf{n}}$. Gleichung 5 ist als eingefrorener Zustand bekannt, da sie besagt, dass die Magnetfelder an die Flüssigkeit gebunden sind.

Antworten

Warum folgen sowohl die positiven als auch die negativen Teilchen diesen Feldlinien und strömen in den Weltraum?

Die Antwort ist zweifach in Bezug auf die teilweise Erfüllung der eingefrorenen Bedingung und die Lorentz-Kraft (Gleichung 1 oben). Gleichung 1 zeigt, dass, wenn ein Teilchen versucht, sich orthogonal zu einem Magnetfeld zu bewegen, das Feld es zurück zum Feld dreht, was zu einer ungefähr kreisförmigen Bewegung führt (wenn nur Magnetfelder und nur die senkrechten Komponenten der Geschwindigkeit berücksichtigt werden). Es gibt intuitive Gründe dafür, warum dies so sein sollte, wie ich bereits in dieser Antwort angegeben habe .

Wenn jedoch die Geschwindigkeit eines Teilchens ($\mathbf{v}_{s}$) parallel zum Magnetfeld ist, erfährt es in Abwesenheit von elektrischen und Gravitationsfeldern keine Kraft. Daher ist es für Partikel sehr einfach, sich entlang des Magnetfelds zu bewegen, aber schwierig, sich darüber hinweg zu bewegen.

Der eingefrorene Zustand zeigt auch, dass das Feld und die Partikel aneinander gebunden sind, so dass sich bei einer Änderung die anderen ändern, um dies zu kompensieren (vorausgesetzt, die Änderungen sind langsam genug).

Beginnen Sie mit der Lorentzkraft eines Magnetfelds auf ein sich bewegendes geladenes Teilchen

$$\vec{F} = Q (\vec{v} \times \vec{B})$$

Beachten Sie, dass diese Kraft immer senkrecht zur Geschwindigkeit geladener Teilchen und zum Magnetfeld gerichtet ist.

Stellen Sie sich also ein Teilchen vor, das sich in Richtung der Feldlinien bewegt - es darf keine Kraft spüren (da$\vec{v} \times \vec{B} = 0$) und daher keine Beschleunigung auf die eine oder andere Weise. Es ist frei, sich entlang der Feldlinien zu bewegen.

Betrachten Sie nun ein Teilchen, das sich rechtwinklig zu den Feldlinien bewegt. Es erfährt eine gewaltige Kraft$QvB$im rechten Winkel zu seiner Geschwindigkeit und im rechten Winkel zum Magnetfeld. Die Kraft führt zu einer Zentripetalbeschleunigung. Die Teilchenbahn wird in einer kreisförmigen Bewegung um die Feldlinien gekrümmt. Die Geschwindigkeit des Teilchens bleibt unverändert und der Radius der Kreisbewegung nimmt ab, wenn das Magnetfeld stärker wird.

$$r = \frac{mv}{|Q|B}$$

Somit wird das Teilchen bei kleinen Geschwindigkeiten/großen Feldern auf einem sehr engen Radius auf die Feldlinien beschränkt, kann sich aber frei an ihnen entlang bewegen. Somit wird das Teilchen eine spiralförmige Bewegung beschreiben.

Das meinen wir damit, dass Teilchen an die Feldlinien „gebunden“ sind.

Das Ändern des Vorzeichens der Ladung ändert nicht den "Kreiselradius", sondern ändert lediglich die Richtung, in der die Teilchen kreisen. Die Kraft ist entlang der Feldlinienrichtung für Teilchen, die mit einem der beiden Vorzeichen geladen sind, null.

In einfachen Worten:

Wie Lemon kommentierte: Sie folgen nicht per se den Feldlinien, sie winden sich spiralförmig um die Feldlinien. Die Ladung beeinflusst, ob sie sich im oder gegen den Uhrzeigersinn winden.

Genauer gesagt, solange ein Teilchen eine Anfangsgeschwindigkeit entlang der Feldrichtung hat, ist die resultierende Flugbahn eine Spirale. Wenn eine Spirale lang genug ist, sieht sie von weit genug betrachtet wie eine Linie aus, also sieht es so aus, als würden die Teilchen den Feldlinien folgen. Und wo Sie die Spirale nicht von einer Linie unterscheiden können, können Sie auch nicht unterscheiden, ob die Spirale "im Uhrzeigersinn" oder "gegen den Uhrzeigersinn" ist.

Dies ist beim Sonnenwind der Fall, weil die meisten Teilchen eine Geschwindigkeit entlang der Feldrichtung haben, und diejenigen, die dies nicht tun, werden dies bald tun (weil sie von anderen getroffen werden).

Wenn jedoch ein Teilchen keine Anfangsgeschwindigkeit in Feldrichtung hat, wird die Flugbahn zu einem Kreis.

Der Grund , warum die Flugbahn eine Spirale ist, liegt in der Rechte-Hand-Regel , wie sie auf elektromagnetische Felder angewendet wird.