Warum funktioniert Mathematik zum Beschreiben und Lösen physikalischer Probleme? [geschlossen]

Eine sehr beliebte Ansicht (wie sie von Max Tegmark vertreten wird) ist die (Zitat von count_to_10):

Mathematik funktioniert, weil das Universum auf Mathematik basiert

http://www.scientificamerican.com/article/is-the-universe-made-of-math-excerpt/
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_universe_hypothesis

Eine solche Ansicht war von der Zeit von Pythagoras bis zu Kepler und Newton üblich, mit Versuchen, mystische mathematische Muster in der Natur zu finden, und der Beschreibung von Gott als Geometer. Galileo schrieb 1623: „Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“

Eine alternative, eher "bodenständige" Sichtweise ist, dass sich die Mathematik aus dem Versuch entwickelt hat, die Welt mit Zahlen zu beschreiben - nicht nur durch Zählen, sondern auch durch Messen (Entfernung, Winkel, Fläche, Volumen, Gewicht etc.). Dies ist im Fall der Geometrie (wörtlich „Landvermessung“) offensichtlich. Die Trigonometrie wurde auch für den Einsatz in der Vermessung, Navigation und Astronomie entwickelt (im letzteren Fall zur Vorhersage von Überschwemmungen oder günstigen astrologischen Ereignissen). Die Wahrscheinlichkeit wurde entwickelt, um Fragen zum Glücksspiel zu beantworten. Calculus entwickelte sich aus dem Versuch, die Form von Himmelsbahnen zu erklären. In jüngerer Zeit entstand die Mathematik des Chaos aus der Wettervorhersage und die fraktale Geometrie aus der praktischen Frage der Messung der Länge einer Küste.

Während des größten Teils ihrer Geschichte entwickelte sich die Mathematik als Werkzeug der Wissenschaft und Technologie, von der Zeit Archimedes bis zur Ära von Euler, Lagrange, Gauß und Legendre. Es sollte also nicht überraschen, dass es in der Physik "funktioniert". Erst um 1850 wurde die Reine Mathematik als eigenständiges Fach anerkannt.

Wie Paul T. betont, wurde das Thema von Eugene Wigner in einem berühmten Essay „The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences“ ( http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/wigner .pdf .) Ich denke jedoch, dass diese Beschreibung der "unangemessenen Effektivität" mit der Realität der mathematischen Physik kollidiert.

Werfen Sie einen Blick in Landau & Lifschitz oder einen anderen Graduiertentext in mathematischer Physik. Angesichts der horrenden Mathematik, die erforderlich ist, um viele Differentialgleichungen (Fourier-Transformationen, Bessel-Funktionen usw.) zu lösen, von denen die meisten sowieso keine analytische Lösung haben, könnte man sich dann fragen, ob die Beschreibung von "unzumutbarer Effektivität" wirklich angemessen ist. Umso mehr, wenn man bedenkt, dass diese komplexen Lösungen immer noch nur eine Annäherung an die Realität sind, da die Differentialgleichungen selbst erst durch einige vereinfachende Annahmen entstanden sind.

In der Quantenmechanik können nur die einfachsten Probleme analytisch gelöst werden. Einige sind nur in transzendente Gleichungen auflösbar (z. B. endliche Potentialbarriere). Andere sind nur als "Störungen" bekannter Lösungen handhabbar oder erfordern in der QED das Summieren unendlicher Reihen von Termen. In einigen Bereichen sind spezielle Tricks wie Renormalisierung und Regularisierung erforderlich, um mit Unendlichkeiten umzugehen.

Dass lineare Algebra in zahlreichen interessierenden makroskopischen Situationen ziemlich gut anwendbar ist, liegt an den Tatsachen, dass (1) viele Phänomene über den schmalen interessierenden Bereich annähernd linear sind und (2) sie nur schwach miteinander gekoppelt sind. Dann liefern empirische Gesetze wie das Hookesche Gesetz und das Ohmsche Gesetz ausreichend genaue Ergebnisse, ohne die Berechnungen zu schwierig zu machen.

Das Gesetz der großen Zahlen, das die Grundlage der statistischen Mechanik bildet, ist auch eine große Hilfe, um die Schwierigkeiten bei der Lösung nichtlinearer Gleichungen auf molekularer Ebene zu umgehen.

Vor allem im Fall von Turbulenzen, obwohl wir die Navier-Stokes-Gleichung schreiben können – die wiederum auf vereinfachenden Annahmen beruht – hat noch niemand herausgefunden, wie man sie löst. Aber selbst bei einem so einfachen System wie dem Doppelpendel können wir seine Bewegungsgleichung schreiben, aber wir können sein Verhalten nicht immer vorhersagen.

Wie dmkee sagt:

Denken Sie einen Moment darüber nach, was mit vorgeschlagenen Beschreibungen der Realität passiert, deren Mathematik nicht funktioniert, um das System zu beschreiben, auf das sie sich beziehen. Kirchhoffs Gesetze landeten nicht in den Texten, weil der Name des Mannes Spaß macht, ihn auszusprechen.

Wenn Mathematik keine Lösung für ein physikalisches Problem liefert, wird sie aus den Lehrbüchern gestrichen. Oder wir vereinfachen, bis das Problem lösbar ist. Wir konzentrieren uns auf die Probleme, die wir lösen können, und vermeiden diejenigen, die wir nicht lösen können. Das hinterlässt den Eindruck, dass Mathematik jedes physikalische Problem lösen kann.

Also zusammenfassend lautet meine Antwort:

1. Mathematik funktioniert in der Physik, weil sie (teilweise) entwickelt wurde, um die Welt zu beschreiben, und
2. es funktioniert nicht annähernd so gut, wie manche Leute glauben.

Antwort auf Die geklärte Version

1. Wir behandeln das Phänomen nur dann als Black Box, wenn wir völlig ahnungslos sind, was vor sich geht. Dann entwickeln wir empirische Gleichungen – wir wählen Parameter aus und variieren sie, um sie an experimentelle Ergebnisse anzupassen. In der Physik kommt das selten vor, eher in den Ingenieurwissenschaften.

2. Normalerweise zielen wir darauf ab, dass die Gleichungen die Wechselbeziehungen relevanter Variablen modellieren: dh die interne Struktur des Phänomens widerspiegeln. Bei der Lösung dieser Gleichungen sind wir jedoch nicht darauf beschränkt, das Phänomen nachzuahmen – es sei denn, wir führen eine Simulation durch. Wir können beliebige mathematische Abkürzungen (z. B. Integration, Analogie, Symmetrie) verwenden, um das Endergebnis vorherzusagen.

3. Ja, wir verwenden manchmal eine Mischung aus diesen beiden Ansätzen: zB die semi-empirische Massenformel in der Kernphysik und die verschiedenen Zustandsgleichungen für reale Gase. Auch die Dimensionsanalyse könnte in diese Kategorie fallen: Wir wählen aus, welche Variablen relevant sind, und suchen nach konsistenten Beziehungen zwischen ihnen.

4. Ich stimme Wigner nicht zu, dass der Prozess und sein Erfolg ein so großes Geheimnis umgibt, dass es sich um ein „Wunder“ handelt und dass „niemand weiß, wie es funktioniert“. Ich bin, wie Geremia sagt, ein Schüler von Aristoteles, wie Wigner von Platon ist. Ist es ein Wunder, dass wir zufällig auf dem einzigen bewohnbaren Planeten in Sichtweite leben? Oder ist das eine Tautologie, da wir nicht anders können? Ebenso halte ich es nicht mehr für ein Wunder, dass wir erstaunliche Erfolge bei der Anwendung von Mathematik auf Physik hatten, als dass wir erstaunliche Erfolge bei der Anwendung unseres Verstandes auf die Entwicklung von Luft- und Raumfahrt-, Computer- und Kommunikationstechnologien hatten.

Der Erfolg bei der Anwendung von Mathematik hat uns dazu angespornt, sie fast ausschließlich zu verwenden, vielleicht auf Kosten anderer Ansätze. Wie ich oben sagte, neigen wir dazu, uns auf Probleme zu konzentrieren, auf die Mathematik angewendet werden kann, und vernachlässigen diejenigen, auf die sie nicht anwendbar ist. Und wir sind nicht damit zufrieden, etwas zu verstehen, bis wir die maßgebliche(n) Gleichung(en) aufschreiben und lösen können.

Wenn bestehende Mathematik auf ein Problem nicht anwendbar ist, versuchen oder erfinden wir neue Werkzeuge, Konzepte oder Zweige der Mathematik, um damit umzugehen - wie Topologie, nicht-euklidische Geometrien, Katastrophentheorie, fraktale Geometrie, Chaos, selbstorganisierende Systeme und Emergenz . Wir vergessen die vielen Fehlschläge, die Doktoranden beim Versuch hatten, unangemessene Mathematik auf ein hartnäckiges Problem anzuwenden.